OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

点と直線 2

  • 困ってます
  • 質問No.114110
  • 閲覧数275
  • ありがとう数2
  • 気になる数0
  • 回答数3
  • コメント数0

お礼率 25% (5/20)

1,2直線x-4y+5=0,2x+y+1=0の交点を通る直線のうち、次のような直線の方程式を
  求めよ。
(1)直線3x-2y+5=0に垂直

2,2直線(a+2)x+(a+3)y=10,6x+(2a-1)y=5について、次のような条件をみたす
  aの値を求めよ。
(1)2直線は垂直である

3,次の3点が同一直線上にあるように、定数aの値を定めよ。
(1) (1,0),(a,-1),(-1,1)

4,次の直線に関して、点A(2,1)と対称な点の座標を求めよ。
(1)y=2x

5,次の点と直線の距離を求めよ。
(1) (0,0),3x-4y=10 

途中式もよろしくお願いします。 
通報する
  • 回答数3
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 33% (34/103)

1.
    x - 4y + 5 = 0    …(a)
    2x + y + 1 = 0    …(b)
(b)より
    y = -2x - 1    …(b)'
(b)'を(a)に代入して
    x - 4(-2x - 1) + 5 = 0
    x = 1    …(c)
(c)を(b)'に代入して
    y = -2 - 1 = -3
よって交点は(1, -3)。
直線 3x - 2y + 5 = 0 をyについて解くと
    y = 3x/2 + 5/2
よってこれに垂直な直線は
    y = -2x/3 + a    …(d)
この直線が交点(1, -3)を通るためには、(d)に x = 1, y = -3 を代入して
    -3 = -2/3 + a
    a = -7/3
よって求める直線は(d)より
    y = -2x/3 - 7/3
または両辺を3倍して移項して
     2x + 3y + 7 = 0

2.
一般に2直線
    ax + by = e    …(a)
    cx + dy = f    …(b)
があった時、この2直線が直交する条件を考えます。
(i)b≠0, d≠0のとき
2直線(a),(b)は次のように書きかえられます。
    y = -ax/b + e/b    …(a)'
    y = -cx/d + f/d    …(b)'
この2直線が直交するためには傾きの積が-1であれば良いので
    (-a/b)(-c/d) = -1
    ac + bd = 0    …(c)
これが(i)の場合の、2直線(a),(b)が直交する条件となります。
(ii)b=0のとき
(a)より
    ax = e
a=0だとe=0となって0=0となり直線で無くなるのでa≠0、よって
    x = e/a
これはx=(一定)、すなわちy軸に平行な直線を表すので、
直線(a),(b)が直交するためには直線(b)がx軸に平行であれば良い。すなわち
    c = 0
となればよい。

b = c = 0 は(c)をみたすので、(i),(ii)の場合分けに関係無く、直線(a),(b)が直交する条件は
    ac + bd = 0    …(c)
であることである。

これを使うと2直線
    (a + 2)x + (a + 3)y = 10
    6x + (2a - 1)y = 5
が直交するための条件は
    6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 0
となる事である。これを解いて行くと
    6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 2a^2 + 11a + 9
    = (a + 1)(2a + 9) = 0
よって求めるaの条件は
    a = -1, -9/2

3.
2点(a, b), (c, d)を通る直線の式は
    (d - b)(x - a) = (c - a)(y - b)
であらわされます。(実際に(x, y)に(a, b), (c, d)を代入すると成り立つ事が分かります。)
よって2点(1, 0), (-1, 1)を通る直線の式は
    x - 1 = -2y
    x + 2y - 1 = 0
これが(a, -1)を通るためには x = a, y = -1 を代入して
    a + 2(-1) -1 = 0
これを整理して求めるaの値は
    a = -1

4.
直線 ax + by + c = 0 と点(x0, y0) との距離dは
    d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
です(公式)。
それは置いておいてまず、直線
    y = 2x
あるいは書きなおすと
    2x - y = 0    …(a)
に垂直で点(2, 1)を通る直線を求めましょう。傾きが-1/2で点(2, 1)を通るので
    y - 1 = -(x - 2)/2
    x + 2y - 4 = 0    … (b)
こうすると、求める点は直線(b)上にあり、直線(a)との距離が点(2, 1)のそれと同じ点という事になります。
直線(a)と点(2, 1)との距離dは上の公式より
    d = |2*2 - 1*1| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = 3 / √5
求める点の座標を(x0, y0)とするとこの点と直線(a)との距離は
    |2x0 - y0| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = d = 3 / √5
    |2x0 - y0| = 3    …(c)
点(x0, y0)は直線(b)上の点だから
    x0 + 2y0 - 4 = 0    …(d)
2x0 - y0 ≧ 0とすると
(c)は
    2x0 - y0 = 3    …(c)'
これと式(d)との連立1次方程式を解くと、(x0, y0) = (2, 1)となり、これは求めるものではない。
よって2x0 - y0 < 0 このとき(c)は
    2x0 - y0 = -3    …(c)''
これと(d)との連立1時方程式を解いて求める点は
    (-2/5, 11/5)

5.
前問の公式より
    | -10 | / √(3^2 + 4^2) = 10/5 = 2
よって求める距離は2


こんな感じで。
計算ミスあったらごめんなさい。
-PR-
-PR-

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

x-4y+5+P(2x+y+1)=0は2直線の交点を通る直線の方程式である。 この式を変形して、 (1+2P)x+(-4+P)y+5+P=0…(1) 3x-2Y+5=0…(2)とすると 直線(1),(2)が垂直⇔(1),(2)の法線ベクトルが垂直 ⇔(1),(2)の法線ベクトルの内積=0 ⇔(1+2P,-4+P)・(3,-2)=0 ...続きを読む
x-4y+5+P(2x+y+1)=0は2直線の交点を通る直線の方程式である。
この式を変形して、
(1+2P)x+(-4+P)y+5+P=0…(1)
3x-2Y+5=0…(2)とすると
直線(1),(2)が垂直⇔(1),(2)の法線ベクトルが垂直
⇔(1),(2)の法線ベクトルの内積=0
⇔(1+2P,-4+P)・(3,-2)=0
⇔3+6P+8-2P=0
⇔4P=-11
(1)式の両辺を4倍して
(4+2*4P)x+(-16+4P)y+20+4P=0
4P=-11を代入して
-18x-27y+9=0⇔2x+3y-1=0
以上

2,2(1)もおなじようにできる。
3,これくらいは自分でやりましょう。

4(1)は複素数を使うと一般化できる。
______
x+yi/1+2i=(X+Yi/1+2i)(――――――は共役複素数をあらわす。)
としてX+Yi=~x+~yiと解けばできる。あとは(x,y)=(2,1)を代入して…。

5(1)は教科書を見ましょう。


  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

なんかへんなふうに共役複素数の記号が出てしまいました。正しくは、 _____ X+Yi/1+2i というふうに右辺だけにつきます。
なんかへんなふうに共役複素数の記号が出てしまいました。正しくは、
_____
X+Yi/1+2i
というふうに右辺だけにつきます。
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ