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ベクトル解析の問題

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お礼率 55% (20/36)

R=(x,y,z) r=|R| f(r)はrの関数とするとき、
▽^2f(r)=f"(r)+2/r*f'(r)
が成り立つことを証明せよって問題なのですが、どなたか解放を教えてもらえませんか。
ちなみに▽^2はラプラシアン、Rはベクトルです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

f(r)をxで微分すると
∂f/∂x=∂f/∂r*∂r/∂x

これをもう1度xで微分して
∂^2f/∂^2x=(∂^2/∂^2r)*(∂r/∂x)^2+(∂f/∂r)*(∂^2/∂x^2)
(yとzについても、微分して求め、これら3式を加える)

ここで
r^2=x^2+y^2+z^2
r∂r/∂x=x
∂r/∂x=x/r

であるので
∂^2r/∂x^2=1/rー(x/r^2)*(x/r)=1/rー(x^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂y^2=1/rー(y/r^2)*(y/r)=1/rー(y^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂z^2=1/rー(z/r^2)*(z/r)=1/rー(z^2/r^2)*(1/r)

この3式を辺々加えて
∂^2r/∂x^2+∂^2r/∂y^2+∂^2r/∂z^2=3/rー1/r=2/r

これらから求めることが出来ます。
お礼コメント
manfgataro

お礼率 55% (20/36)

 brogieさん、わかりやすい解答ありがとうございました。
大変助かりました。
 siegmundさんも極座標でやる方法は、授業で習ってなかったので、大変ためになりました。
 またよろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-07-31 23:44:10
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  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

ラプラシアンの極座標表現 (1)  ∇^2 = (1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)        + (1/r^2 sinθ)(∂/∂θ)(sinθ・∂/∂θ)        + (1/r^2 sin^2 θ)(∂^2/∂φ^2) を知っていれば一発ですが,これは反則かな? f(r) は r だけの関数で,θやφには無関係ですから, 計算は簡単ですね. ただし,ラプラシアン ...続きを読む
ラプラシアンの極座標表現
(1)  ∇^2 = (1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)
       + (1/r^2 sinθ)(∂/∂θ)(sinθ・∂/∂θ)
       + (1/r^2 sin^2 θ)(∂^2/∂φ^2)
を知っていれば一発ですが,これは反則かな?
f(r) は r だけの関数で,θやφには無関係ですから,
計算は簡単ですね.

ただし,ラプラシアンの直角座標表現から(1)の極座標表現を求めるには,
結局 brogie さんと似たようなことをやらないといけません.


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