ベクトルの問題についてです。お願いします

質問

ベクトルの問題についてです。お願いします
なお、i,j,kは,x,y,z軸方向の単位ベクトル。R1,R2,RはS1,S2,F,Gの位置ベクトルです

1.
S1:R1=(ucosv)i+(usinv)j+uk
[0<=u<=1/2,0<=v<=2π]
S2:R2={(1-u)cosv}i+{(1-u)sinv}j+uk
[1/2<=u<=1,0<=v<=2π]
について
(1)D(S1,S2に囲まれる領域)の表面をSとした、Sの外向き法線ベクトル

2.
F:R=xi+yi+(3-x^2-y^2)k
G:R=xi+yi+2(x^2+y^2)k
(1)FとGの交線の円筒座標系(r,θ,z)における方程式を求めよ
(2)D(FとGで囲まれた領域)の体積

2つ以上の位置ベクトルの問題を解いたことがなく、考え方などがわかりません^^;
次回に役立てたいので、計算の過程も出来ればお願いします
問題数が多いですが、何卒宜しくお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

それでどこが分からないでしょうか？

やり方
1)
xyz座標でのS1,S2の曲面の式をそれぞれ求め、全微分して(dx,dy,dz)の係数の組（法線ベクトルの成分となります）を求めればいいだけ。

S1：x^2+y^2-z^2=0
　全微分して共通因数の2で割ると
　　xdx+ydy-zdz=0
(x,y,-z)・(dx,dy,dz)=0
　S1の点(x,y,z)における法線ベクトルは(x,y,-z)=(ucosv,usinv,-u)
　　単位法線ベクトルならベクトルの絶対値で割れば良い→(cosv,sinv,-1)/√2
（これは外向き法線ベクトルになっています。）

同様に　
S2：x^2+y^2-(z-1)^2=0
　全微分して共通因数の2で割ると
　　xdx+ydy-(z-1)dz=0
　　(x,y,1-z)・(dx,dy,dz)=0
　S上の点(x,y,z)における法線ベクトルは(x,y,1-z)=(ucosv,usinv,1-u)
　　単位法線ベクトルなら法線ベクトルの絶対値で割れば良い。→(cosv,sinv,1)/√2
（これは外向き法線ベクトルになっています。）

2)
(1)x,y,zを円筒座標に置き換えるだけ（どこの教科書や参考書にでも載っている）。
(2)立体はz軸に対して回転対称なので
回転体の体積公式で積分するだけ。
V=π∫[G]u^2dz+π∫[F]u^2dz
=π∫[0,2] (z/2)dz+π∫[2,3](3-z)dz
を計算するだけ。この位の積分は出来るでしょう。

課題等の丸投げっぽいので後は自力で調べておやり下さい。

１，２の図を添付しておきます。

お礼

返事が大変遅れました
まず、(1)についてですが、曲面を2変数で表したベクトルの法線ベクトルは、u，vの偏微分を求め、それらの外積を利用する方法で解けると思ってました
しかし、課題の答えは一つだけみたいですので、自分の考え方が違うことに気付きました
それ故に、今回質問させて戴きました

一応、課題の解答は教えられたので、後は自分でより勉強していきたいと思います