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格子点上に出来る正方形の数
taropooの回答
- taropoo
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2つの整数の組(i, j) (1≦i≦n, 0≦j≦n, i+j≦n)に対し、1つの正方形の角度と大きさが重複なく決まります。 つまり、点O(0, 0)、点A(i, j)、点B(i-j, i+j)、点C(-j, i)として正方形OABCと角度・大きさが同じ正方形です。 重複なくと言うのはある(i, j)に対する正方形と、(i, j)とは異なる整数の組(i', j')に対する正方形の角度と大きさが同じにはならないと言う意味です。 これは 1≦i≦n, 0≦j≦n とした事により保証されます。 この角度・大きさの正方形がn*nの格子点上にn(i,j)個入るとすると n(i, j) = {n - (i + j)}^2 よって、n*nの格子点に含まれる正方形の総数は Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} n(i, j) = Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} {n - (i + j)}^2 = Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} i^2 一般解は深追いすると大変な事になるのでこの辺で止めておいて問題のn=5の場合の答えを出しましょう。 Σ{j=0~n-1}Σ{i=1~n-j} i^2 = Σ{j=0~4}Σ{i=1~5-j} i^2 = Σ{i=1~1} i^2 + Σ{i=1~2} i^2 + Σ{i=1~3} i^2 + Σ{i=1~4} i^2 = 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 9) + (1 + 4 + 9 + 16) = 50 と言うわけで50個入ります。
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