- ベストアンサー
微積分の問題について
微積分の練習問題を解いている時に、どうしても分からなかったので教えてください。 １、関数y=f(x)=x３に関して、 f(a+b)－f(a)を計算せよ。 ２、y=f(x)=xnとする。nはxの右上に付いている。 (1)f(a+b)-f(a)/b を計算せよ。 (2)y´=dy/dx=NXn-1 を示せ。 すみません。よろしくお願いします。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは 表記注 a^3は、「aの三乗」を意味します。 １．について f(a+b)の意味解ってますか？ f(x)のx部分にa+bを代入して計算しなさいと言うことです。 すなわち、y=(a+b)^3-a^3 を計算すればいい事になります。簡単ですよね？ ２．について （１）は１．の意味が解れば解けるはず。 （２）は、微分の定義の問題です。 教科書に載っている「微分の定義」を参照しましょう！ がんばってください＾＾
その他の回答 (1)
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
指針がでてますので参考程度に (a+b)^n は二項定理を使って展開しますね。 参照URL http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E4%BF%82%E6%95%B0
お礼
ありがとうございます。 リンクされたホームページを見たんですけど、ますます分からなくなりました。すみませんでした。でも、何とか自分の力でがんばってみます。
関連するQ&A
- 【積分の途中でlimを？】広義積分の問題について
∬1/√(x^2-y^2) dxdy 積分する領域は、x^2>y^2 0<x<1 となってます。 増大列を用いて、 ∫[1/n → 1]dx ∫[-x-(1/n) → x-(1/n)] f dyとして、最後にnを∞に飛ばせばいいのですよね。 しかし、 ∫[-x-(1/n) → x-(1/n)] f dyをひとまず計算したところ、 2arcsin(1-1/nx)となりました。 これをxで積分したいとは思わないので、 この段階でnを飛ばして、2arcsin1 =πとし、これをxで積分して、 最終的にπ(1-1/n)となりました。 で、πに収束。 答えは合っていたのですが、疑問なのは途中でnを飛ばしてもよかったのかなーと。 たまたま答えがあっていたんじゃないかと不安です。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の積分
こんにちは。積分法に関する質問です。 gが(a,b)において連続[a,b]において微分可能とし、g´(x)＞0で、fもgの値域においては連続とするとき ∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))が成り立つことを示し、(Fоg)´(x)を計算せよという問題です。((Fоg)は合成関数) 今ヒントが与えられていて g(a)≦y≦g(b)において F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。とあるのですが、このヒントをどう使うのかが分かりません。 それと(Fоg)´(x)の計算もお手上げです。 どなたかヒントよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分における完全微分性および積分路に対する独立性について
ｃを経路とすると、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy} について、∂F1/∂y=∂F2/∂x が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点 だけで決まるというようなことを習いました。 ここで、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy} は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して 積分すれば良いということになるのですが、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して 積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、 もっと初等的に、（線）積分の意味などから 考える方法はありませんか？ 自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、 F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路ｃ上の 座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、 ∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば 良い」という説明になるのかな？と思いました。 たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明 しているように思えるのですが… この説明はこの説明で良いのでしょうか？ 他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線積分の問題
円周ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２に沿って、正の向きに一回転線積分 ∫_ｃ (ｘ+ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｘ－(ｘ-ｙ)/(ｘ^２+ｙ^２)ｄｙ ｃ=［ｘ^２+ｙ^２＝ａ＾２］ を計算するのですが、 自分は、ｙ1=√(ａ^２-ｘ^２)として、ｄｙ1=-ｘ/√(ａ^2-ｘ^2)，ｙ2=-√(a^2-x^2)として、dy2＝x/√(a^2-x^2)とやり、 与式＝∫_a~-a (ｘ+ｙ1)/a^2 ｄｘ－（x-y1）/a^2 dy1＋∫_-a~a (x+y2)/a^2ｄｘ－(x-y2)/a^2 dy2として解いたのですが、答えは-πになります。あっているでしょうか？0になりそうな気もするので、指摘をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分順序の交換の際の書き方について
積分順序の交換の問題。 ∫[x=0,1]dx∫[y=ax,bx]f(x,y)dyを変形した場合、正しい書き方は次のどちらでしょうか？ i)∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx-∫[y=0.a]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx ii)∫[y=ax,bx]dy∫[x=y/a,y/b]f(x,y)dx 勿論どちらも間違っている可能性もありますが。 順序の交換の問題で減算ってアリですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3次の定積分の問題です。
(1) ∫(x-α)(x-β)g(x) dxの定積分(区間：-1→1)が0となるときのα、βを求めよ。 ただし、g(x)は1次関数である。 (2) ∫f(x) dx = f(α)+f(β) (積分区間：-1→1)を証明せよ。 f(x)は3次関数である。 という問題です。 (1)はg(x)=ax+bとおいて計算してみたのですが、 a≠0よりα+β=0 b≠0のときα=1/√(3)、β=-1/√(3) またはα=-1/√(3)、β=1/√(3) というスッキリしない回答になってしまいました。 また、(2)を見据えた答えにならずよくわかりません。 途中計算も含めて御解答していただけると助かります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分についてです
(置換積分) f:[a,b]→[c,d]がC^1級でg:[c,d]→Rが連続であるとき次の式が成立する ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx ＝ ∫[f(a),f(b)]g(y)dy この定理が成り立つのは良いのですが,不定積分について ∫g(f(x))f'(x)dx ＝∫g(y)dy が成り立つ理由がわかりません… 部分積分も同様に,定積分の式ならわかるのですが、不定積分について ∫f(x)g'(x)＝ f(x)g(x)－∫f'(x)g(x) となる理由がわかりません。 大学数学での不定積分のきちんとした定義とともに、 ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx ＝ ∫[f(a),f(b)]g(y)dy ∫f(x)g'(x)＝ f(x)g(x)－∫f'(x)g(x) の成り立つ理由がわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致しますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ６重積分の発散のオーダーの問題です。
S_n =∫_{-∞→∞}dx1∫_{-∞→∞}dx2∫_{-∞→∞}dx3∫_{-∞→∞}dy1∫_{-∞→∞}dy2∫_{-∞→∞}dy3 H(x,y) ただし x とyは３次元ベクトルで x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3), H(x,y)=Σ_{i=1, 2, 3}H_i(x,y). H_i(x, y)={I_[a, n](|x|) I_[a, n](|y|)}/{f(x)f(y)}(xi/E(x)^2+yi/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){1/G(x,y)}, ただし|x|=√(x1^2+x2^2+x3^2), I_[a, n](|x|)は定義関数で、 a≦|x|≦nのとき I_[a, n](|x|)=1, それ以外のとき I_[a, n](|x|)=0となる関数である。(a>0, n>0) また、f(x)=√(|x|^2+c^2), c>0, E(x)=|x|^2/(2m)+f(x), m>0, G(x,y)={|x|^2+|y|^2+2(x1y1+x2y2+x3y3)}/(2m)+f(x)+f(y)であるとする。 n→∞のときのS_nの発散のオーダーを求めてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- dx を変数として扱える理由
高校の数学では、微分を次のように習いました。 y=f(x) ...f(x)はxの関数 yをxで微分することを次のように書く。 dy/dx=df(x)/dx 例えば y=f(x)=x^2+3x+4 なら dy/dx=2x+3 高校の授業で数学の先生の漏らした言葉に、 dx は、ひとつの変数と扱って計算してよい。 とすると dy=(2x+3)dx と書ける。 ここで積分の魔法をかけると ∫dy=∫(2x+3)dx y＋A=x^2+3x＋B （A,Bは定数） なんと、これはA,Bを B-A=4とすれば 最初のf(x)と一致してます。 このようなめちゃくちゃな話をそのまま信じるのも あれなので、こんな計算が許される理由を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 後は自分の力でがんばります。