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最小値を求める
x>0のとき,1/√x+√x+√(1/x+x+1)の最小値を求めよ。 がわかりません。相加相乗平均を使うような気がするのですが・・・
- poco3141592
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#2さんの後半の論理展開が、私にはすっと頭に入ってきませんでした・・・ > k^2-2Ak+1=0 > A=(k^2+1)/2K>=2 > A>=2であるから、K>=2+√3 もっと単純に、 「A≧2のとき、Aが大きくなるとA+√(A^2-1)も大きくなるので」最小値はA=2のときで2+√3 くらいの論理展開で十分ではないでしょうか?(Aが正なら各項の単調増加性が明らかと思料) なお、#1さんの解法は、「両方が最小になるときのxが同じなので」の部分を“きちんと理解できていて、さらにそれを表現できる”答案作成をしないと、採点者に誤解を与えてしまう虞があります。 いや、#1さんと#2さんの回答、そしてそれにツッコんでる私の言い分は、本質的に同じことを言ってるにすぎないんですが^^;
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- mirage70
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1/√x+√x=Aと置くと、A>=2 √(1/x+x+1)=√(A^2-1) A+√(A^2-1)=Kと置いて、展開して整理すると、 k^2-2Ak+1=0 A=(k^2+1)/2K>=2 A>=2であるから、K>=2+√3 または、A+√(A^2-1)=Kの増減を調べる方法を知っているなら、A>=2を利用して直ぐに答えが出ます。
そうです。相加相乗使えば出来ますね。 1/√x+√x の最小値は? 1/x+x の最小値は? 両方が最小になるときのxが同じなので、このとき 式全体が最小になります。
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お礼
No.1の方から順番に読んで、この補足を見るとまとめてくださっていたので、わかりやすかったです。どの回答も大変参考になりました。