２次元分布の同時密度関数

質問

最近確率の勉強をやり直そうと思い、問題集を買ってやっているのですが次の問題でつまずきました。

X,Yの同時密度関数をf(x,y)=6xy(0<x<y<1),0(その他)とする。
X,Yの周辺密度関数f1(x),f2(y)。
X=xのときのYの条件付密度関数f2(y|x),Y=yのときのXの条件付密度関数f1(x|y)。
確率P(0≦X≦1/9|Y=1/3),P(Y>1/2|X=1/2)。
以上を求めよ。

という問題なのですが、求める際に積分を使いますが積分区間が解かりません。そもそも、
∫(-∞≦y≦∞)∫(-∞≦x≦∞)f(x,y)dxdy=1
ですが、今回の場合積分区間はどうなるのでしょうか？１には成らないだろーなと思いつつ
∫(x≦y≦1)∫(0≦x≦y)f(x,y)dxdyとやってみましたがやっぱりダメでした。
∫(-∞≦y≦∞)∫(-∞≦x≦∞)f(x,y)dxdy=1となるような正しい区間の設定と各問の方針と解答を教えていただけますか？方針をもとに実際に自分で解いてみますので答えあわせのために解答だけで結構ですのでヨロシクお願いいたします。

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

たしかに、変な問題ですね。

この問題については、たとえば、
∫_{0,1}dx [ ∫_{x,1}dy f(x,y) ]
=∫_{0,1}dy [ ∫_{0,y}dx f(x,y) ]
と計算すれば、1になるはずですがなりませんね。