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微分可能性
f(x)=xcos(1/x) (x≠0) 0 (x-0) のときの微分可能性を調べよ という問題です。 計算してlim[x→0]cos(1/x)となりlim[x→0]cos(1/x)は存在しないから微分不可能としたら、存在しない理由を問われました。解法もあっているかどうか心配ですし、理由もあまりよくわかっていません。 ご教授お願いします。
- syokupan100
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cos(1/x)で極限x→0が存在しないことを示す手段の一つとしては部分列の取り方によって極限値がことなることを示すのが明らかな方法だと思います。例えばこの場合、x_n=1/2nπ, x_n=1/(2n+1)π のそれぞれの極限値は異なっています(それぞれ1,-1)。ですから極限値は存在しません。
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- decidrophob
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問題のレベルからして、 大学教養ですね。 だとしたら、 大学の言葉を使いましょう。 このての極限などを明確に論じられる大学の言葉は、 epsilon-delta 以外にないでしょう？ つまり、 簡単に言えば、 どんな風に極限値をとっても、 どんなに x をゼロに近づけても、 必ずその設定した極限値とかなり離れた cos(1/x) の値を取れる。 だから、もともとの「極限値が…」という仮定が矛盾（背理法）。 っていう感じ。 もし、epsilon-delta をやっていないならば、 極限値が「存在する」という定義ができないので、 「理由」も説明できません。
方針は良いと思います。 「存在しない理由」なんて「明らか」ではいかんの？ cosｔは周期関数であるということに尽きるでしょう。 ｘ→＋０のとき1/x→＋∞ だからcos1/xは－１から１の間を振動する。 ｘ→－０でも同じ様なものです。 どこまで要求されているんでしょう？
- qntmphscs
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f(x)の絶対値｜f(x)｜を考えます。 ｜cos(1/x)｜≦１を使うと次式が成り立ちます。 ０≦lim｜f(x)｜＝lim｜xcos(1/x)｜≦lim｜x｜＝０ これよりlimf(x)がいくらに収束するかわかるでしょう。
- Rossana
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ヒント：「挟み撃ちの原理」を使って下さい！
- campus9
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ｃｏｓは値が－１から１の範囲でそれにｘをかけるので 値の絶対値は|x|以下ですね。 これが０に近づけば極限は０です。
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