互いに素である証明(背理法)の解き方

質問

数学Aの整数の性質について質問です。
ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、
証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。
背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね？
それなのになんでこの問題では、仮定と全然違うことを矛盾しているという感じになっているんでしょうか？

あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか？
教えてください。

回答No.5

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以下、「ならば」を ⇒ ，否定「～でない」を ～ で表します。

　対偶はご存じと思います。A ⇒ B の対偶は、～B ⇒ ～A です。
　A ⇒ B が成り立つとき ～B ⇒ ～A が必ず成り立ち、～B ⇒ ～A が成り立つとき A ⇒ B が必ず成り立ちます。

　何を言いたいかというと、A ⇒ B を証明したいなら、～B ⇒ ～A を示したっていいんだ、って話です。どちらを証明するかは、証明しやすい方です。
　この状況を、少しもってまわって文章化したのが、背理法に過ぎないと思って、実用的には問題ありません。

［A ⇒ B］
　　a と b が互いに素 ⇒ a＋b と ab は互いに素（を証明せよ）

　問題解説にあるように、上記は証明しにくい。そこで対偶を証明しましょうと・・・。

［～B ⇒ ～A］
　　a＋b と ab が互いに素でない ⇒ a と b は互いに素でない（を示す）

　で、やってみると確かに対偶の方が簡単に示せる。後は、a と b が互いに素でない事は、a と b が互いに素である事に矛盾すると書くのか、「対偶を示したぞ。文句あるか！」と書くのかの違いです(^^;)。

　なので、
＞・・・問題文から引っ張ってこの条件に矛盾するというのがアリなのかというのが気になります。

は、もちろんOKです。これが本来。また、

＞解答に「aとbが互いに素であるという条件で…」のように書かないと減点とかにはならないのですかね？

は、#4さんが仰るように、ふつうは大丈夫です。先生もそこまで意地悪じゃないと思います(^^)。