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場合の数の問題
次の問題の考え方を教えてください。 「立方体の各面を色で塗る。塗る色は赤・青・緑・黄・白の5色で、隣り合った面は必ず異なる色で塗る。回転させて同じになるものは一種類とする。全部で何通りの塗り分け方があるか」先生が配ったプリントの答えは15通りとありました。私は30通りかと思ったのですが、なぜ15通りになるのでしょうか。 よろしくお願いいたします
- yu_na20aug
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- asuncion
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おっとtypo。 ＞上から見て反時計回りに ＞青、白、黄、緑 こっちも時計回りでした。
- retorofan
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Q なぜ15通りになるのでしょうか？ A 解き方の手順 ある１色を２つの面（向かい合う2面）に塗る。 この色の選び方は５通り（5C1 = 5通り） 残りの4つの側面を残りの4色で塗る方法は、異なる4個のもののじゅず順列の総数に等しい。 （円順列に加えて裏返して一致するものは一通りとして考える並べ方） これは(4 − 1)！ / 2 = ３通り。 よって、5 × 3 = １５通りとなります。
- asuncion
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上面と底面を同じ色で塗り、4つの側面は上面・底面と別の色で 塗ることになる。 上面・底面の選び方は5とおり。 4つの側面の選び方は、円順列ではなくじゅず順列。 よって(4 - 1)! / 2 = 3とおり。求める場合の数は15とおり。 なぜこうなるかというと、例えば上面・底面を赤に決めたとしても 一般性を失わない。 4つの側面を青、緑、黄、白で塗り分けるとき、 上から見て時計回りに 青、緑、黄、白 と塗る場合 ... (*)と 上から見て反時計回りに 青、白、黄、緑 と塗る場合 ... (**)は 同一視しなければならないから。 (*)を180度裏返すと(**)と同じとなる。
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