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格子点の問題
３つの不等式x≧0、y≧0、３x+y≦300で決定される領域を Dとする。 (1)領域D内に含まれるx=k(k=0,1,2,3,・・・100)上の格子点 の個数をkで表せ。 (2)領域D内の格子点の総数を求めよ。 ※ただし、x座標、y座標ともに整数の点である。 (1) x=k上で整数となるy座標は y=0,1,2,3,・・・,-3k+300だから-3k+300+1=-3k+301 例えばy=1のとき、-3k+300=1となり、kは整数とならないから、 この「x座標、y座標ともに整数の点」という条件にはあてはま らないのではないでしょうか。 0≦x≦100なのに、yの範囲が0≦y≦-3k+300となるのもわかりません。
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図を描きましたか？ 図を描いて，x=kで切ってみてください． (1)x=k上に乗っている格子点のことですよ． x=k上に乗っている格子点を座標で書くと， (k,0),(k,1),(k,2),(k,3),(k,4)…(k,300-3k)ですね． つまり，x=k上に乗っている点は(301-3k)個存在します． (2)Σ(301-3k)ですね． 0<=k<=100です． TeEn17AgEさんが勘違いしているのは，「y=-3k+300上の点」と思っているようですね． そうではなく，「x≧0、y≧0、３x+y≦300で決定される領域を D内」ですから，「-3k+300=1となり、kは整数とならない」のような勘違いはしないと思います． これでいいでしょうか？
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- Rossana
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Ano.3です．すいません！！なんか流れで誤ったことを答えてしまいました． >その通りですよ！！TeEn17AgEさんの言われる通りで >す．ですから，格子点は >-3k＋300＝3(100-k)と3の倍数の点のみしかありませ >ん． 3の倍数の点のみっていうのはおかしいです．この言葉を無視して下さい．完全に誤ったことを言ってしまいました． -3k＋300まで1づつすべての点が格子点です． TeEn17AgEさんの考えておられることだと -3k＋300＝3(100-k)と3の倍数の点のみっていうのは， y＝－3x＋300上の格子点になってしまいます．
お礼
いえいえ、とんでもないです。 x=k上の点をひろってけば、格子点の数が数えられ るということですよね。 この概念をおかしなふうに勘違いしてたようです。 みなさんのご回答を参考に図を書いて、もう一度よく 考えたら解けるようになりました。 ありがとうございました。
- Rossana
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>例えばy=1のとき、-3k+300=1となり、kは整数とならな>いから、 >この「x座標、y座標ともに整数の点」という条件には >あてはまらないのではないでしょうか。 その通りですよ！！TeEn17AgEさんの言われる通りです．ですから，格子点は -3k＋300＝3(100-k)と3の倍数の点のみしかありません． >0≦x≦100なのに、yの範囲が0≦y≦-3k+300となるのもわかりません。 これはおそらくあるk(具体的には0～100のどれか一つの値に固定されていると考える)に対してx＝kのとき，0≦y≦-3k+300という意味だと思います．
>例えばy=1のとき、-3k+300=1となり、kは整数とならないから、 >この「x座標、y座標ともに整数の点」という条件にはあてはま >らないのではないでしょうか。 グラフを書いてみましたか？ かんちがいしています。 3x+y≦300を変形すると、y≦-3x+300 x=kの時、y≦-3k+300 つまり、y=1の時を考えるなら -3k+300=1ではなく、 -3k+300≧1を満たせば良いのです。これなら、kは1でも2でも・・・、たくさん該当しますね。 だから、最初の答えどおり、 y=0,1,2,3,・・・,-3k+300だから -3k+300+1（個）=-3k+301（個） でよいわけです。 >0≦x≦100なのに、yの範囲が0≦y≦-3k+300となるのもわかりません。 具体的な数字で考えてみてください。 上の理論に基づくと、 x=0 の時、301個 x=1 の時、298個 x=2 の時、295個 これを、100まで続けていけばよいのですが、 いちいち１つずつ、書くのはいやになってきます。 そこで、ｋの場合はどうだろう？ と文字を使うのです。
お礼
勘違いしてました。 格子点の概念がわかってなかったようです。 いただいたご回答を参考にもう一度考えてみたらわかるように なりました。 ありがとうございました。
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