極限について。

質問

質問１　左方極限と右方極限の違いはなんですか？
質問２　COSθをθ→＋０とすると１ですがCOSθをθ→－０はいくつですか？
質問３　どうやってCOSθ→１（θ→＋０）を計算してるんですか？

回答No.4

Gstav

質問１の補足です。
例えば、ｘ／｜ｘ｜で説明します。
ｘ＝０における左極限は、負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－ｘ　となり、－１
ｘ＝０における左極限は、正の側から近づけるので、｜ｘ｜＝ｘ　となり、１
このように、左方極限と右方極限が異なるもので考えるとイメージしやすいと思います。
１／ｘ　などもｘ＝０における右方極限と左方極限の異なるものです。

蛇足：高校における連続の定義ですが、
lim(x→a+0)f(x)＝lim(x→a-0)f(x)=f(a)が成り立つとき、
f(x)はｘ＝ａで連続であるといい、全ての実数ａでこれが成り立てば、
f(x)は連続関数である、といいます。
f(θ)＝COSθ　は連続関数ですから、右方極限と左方極限を意識する必要はありませんので、単純にθ→０のとき１でいいと思います。

さらに蛇足：
Ａ(１，０)と原点Ｏを中心とする半径１の円があって、
この円周上の点Ｐ（ｘ，ｙ）に対し、「反時計回りに」∠ＯＡＰを計った角に対する弦の長さ（方向付）をθとすると、sinθ＝ｙ,cosθ＝ｘ　である。
θ＝０のとき、点ＰはＡ（１，０）と一致するから、cos０＝１　です。

補足

ｘ／｜ｘ｜の説明について教えてください。
ｘ＝０における左方極限は、負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－ｘとなり、－１である。の所で疑問点が出てきました。
負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－１はいいんですが、そしたら、－ｘ／ｘとなり約分されて－１になります。確かに答えは一致しますがどこでｘ→－０を用いてるんですか？別にｘ→０でなくてもよいことにはなりませんか？（だって約分されて－1になるんだから）
補足よろしくおねがいします。