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極限について。
oodaikoの回答
- oodaiko
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質問1. monmonmonさんが下で書いているx→ +0とx→ -0の違いです。 関数f(x)で x→+aとしたときの極限がf(x)のaにおける右極限、 x→ -aとしたときの極限がf(x)のaにおける左極限です。 要するにxを正方向から(右側から)近付けた時の極限を右極限 負方向から(左側から)近付けた時の極限を左極限と言います。 そして関数f(x)のaにおける右極限がf(a)に一致する時;すなわち lim_{x→ +a}f(x) = f(a) のときfはaで右連続であると言い、 同様にaにおける左極限がf(a)に一致する時;すなわち lim_{x→ -a}f(x) = f(a) のときfはaで左連続であると言います。 更に言えば関数f(x)がaにおいて連続であると言うのは f(x)のaにおける右極限と左極限が一致し、(もちろん各極限が存在しなければいけません) さらにそれがf(a)に等しい時;すなわち lim_{x→+a}f(x) =f(a)=lim_{x→ -a}f(x) となるとき、関数f(x)はaにおいて連続であると言います。 質問2.3 cosθはθ=0で(実はすべての実数で)連続なので、上で書いたようにθ=0における 右極限と左極限は一致し、その値はf(0)に等しくなります。すなわち lim_{θ→ +0} cosθ =cos 0 = 1= lim_{θ→ -0} cosθ 従って質問2の回答は1です。 また質問3.の回答は単に cos 0 を考えれば良いのです。 ただし極限値が cos 0 になる、と言うのはcosθが連続関数だから言えることであって、 右極限と左極限が等しくない、あるいは左右の極限は等しくてもf(a)の値はそれと 等しくないような関数の場合は単純にf(a)の値を極限値とする、というわけにはいきません。 一般的に極限値を求める方法は問題に応じていろいろなやり方があり、すべての場合 に通用する方法はありません。
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補足
答えてくださってありがとうございます。大変わかりやすいです。 確認を取りたいんですがいいですか? 『関数f(x)が連続⇔右極限=左極限』である!! それと最後の文の「左右の極限は等しくてもf(a)の値はそれと等しくない」の具体例をあげてもらえませんでしょうか?