【積分】この画像の途中式を教えてください。

質問

この画像の途中式を教えてください。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

x=4sinθと置き換える「置換積分」で解きます。

定積分を ∫<a→b>f(x)dx のように書き表すことにします。aが下端でbが上端です。
明らかに
∫<-2→2>x^2√(16-x^2)dx=2∫<0→2>x^2√(16-x^2)dx
です。
ここで∫<0→2>x^2√(16-x^2)dxの値を求めます。(最後の答はこれの２倍となります)

x=4sinθとおきます。すると
x:0→2のとき，θ:0→π/6
dx/dθ=4cosθ
であるから
∫<0→2>x^2√(16-x^2)dx
=∫<0→π/6>(((4sinθ)^2)√(16-(4sinθ)^2)*4cosθ)dθ
=∫<0→π/6>((16(sinθ)^2)√(16(cosθ)^2))*4cosθ)dθ
=∫<0→π/6>(256(sinθ)^2)(cosθ)^2))dθ
=256∫<0→π/6>((1-cos2θ)/2)((1+cos2θ)/2)dθ　（半角の公式で次数を下げた）
=64∫<0→π/6>((1-(cos2θ)^2))dθ
=64∫<0→π/6>((1-cos4θ)/2))dθ　（半角の公式で再び次数を下げた）
=32∫<0→π/6>(1-cos4θ)dθ
=32[θ-(1/4)sin4θ]<0→π/6>
=32(π/6-(1/4)*(√3)/2)
=16π/3-4√3

∫<-2→2>x^2√(16-x^2)dx
=2∫<0→2>x^2√(16-x^2)dx
=2(16π/3-4√3)
=32π/3-8√3　……答