数学の恒等式の質問

質問

下の画像の赤線はなぜxについての恒等式なのでしょうか？

回答No.3

Higurashi777 · ベストアンサー

>私はこの問題ではf(x)=x^2+ax+bとしていて、どんなf(x)でも等式を満たすと読み取れるので全てのa,bの値で成り立つと考え、赤線はa,bについての恒等式ではと思いました。

ここの考えが違います、
「f(x)=x^2+ax+bとする」というのは、問題文に「x^2の係数は1である」との記載がありますよね。であると、f(x)は二次方程式ですから、一般的にはf(x)=x^2+ax+bと記載が可能である、ということを指しているだけです。
この問題中で「全てのxで成り立つ」のは等式(x+1)f'(x)＝2f(x)+7x-7だけです。
この等式を解く（＝f(x)を求める）ためにf(x)=x^2+ax+bと仮定しているだけですね、ｘは変数であり、a,bは定数になります。
「全てのa,bで成り立つ」訳ではありません。全てのｘで成り立つf(x)=x^2+ax+bのa,bの特定の値を求める、ということになります。

以上、ご参考まで。

お礼

ありがとうございました。理解することができました。

回答No.2

Higurashi777

>なぜ全ての値xについて成り立つとわかるのでしょうか？
特定のｘでしかこの等式が成立しないのであれば、「二次式f(x)は等式(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7をみたしているとする」とは書けませんよね。
「みたしていないｘがある」＝「二次式f(x)は等式(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7をみたしているとする」とは言えないことになります。

以上、ご参考まで。

お礼

ありがとうございました

補足

私はこの問題ではf(x)=x^2+ax+bとしていて、どんなf(x)でも等式を満たすと読み取れるので全てのa,bの値で成り立つと考え、赤線はa,bについての恒等式ではと思いました。

回答No.1

Higurashi777

問題文で「二次式f(x)は等式(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7をみたしているとする」との記載がありますよね。
すなわち、全てのxの値について等式(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7が成り立つ訳ですから、等式(x+1)f'(x)=2f(x)+7x-7はxについての恒等式である、といえます。

以上、ご参考まで。

お礼

ありがとうございました。

補足

なぜ全ての値xについて成り立つとわかるのでしょうか？