集合と論理について

質問

任意の集合Xとその部分集合族Ωについて、
参考書によるとΩ=Φ(空集合)の時
⋃Ω=Φ
∩Ω=X
とありました。
そもそも、
⋃Ω={x∈X|(∃A∈Ω)(x∈A)}
∩Ω={x∈X|(∀A∈Ω)(x∈A)}
という定義で、
参考書には∩Ω=Xのみ証明があり、
「A∈Ω(=Φ)ならばx∈A」は常に真であるから
と書かれていていました。

なら、⋃Ωも同じじゃない？というのが疑問なのですが、⋃Ω=Φとなる具体的な証明を教えて頂きたいです。
何卒よろしくお願い致します！

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

一応「言葉」で説明しておきます。
λを一つ変数をとる論理式とします。

「∀x∈Ω λ(x)」は普通日本語で、「Ωに属する任意のxに対し、λ(x)が成り立つ」と表記されます。これは、「任意のxについて、次が成り立つ。xがΩに属する『ならば』λ(x)が成り立つ」という事で、これはつまり「∀x(x∈Ω→λ(x)」という事です。

一方、「∃x∈Ω λ(x)」は普通日本語で、「Ωに属するあるxが存在し、λ(x)が成り立つ」と表記されます。これは、「あるxが存在し、Ωに属し、『且つ』λ(x)が成り立つ」という事で、これはつまり「∃x ( (x∈Ω)∧ λ(x)」という事です。

で、⋃Ω = { x | ∃A ( (A∈Ω) ∧ (z∈A) ) } （何回も言っているが「且つ」です）ですが、これは結局⋃Ωというのは「Ωの元の元全体からなる集合」です。Ωが空集合の時、そのようなものがあるかどうかですね。

お礼

早速の回答ありがとうございますm(_ _)m
すごく分かりやすかったです
参考書もこれくらい具体的に解説して欲しかった…

回答No.1

tmppassenger

> なら、⋃Ωも同じじゃない？というのが疑問なのですが

... という疑問を抱いてしまうのが 『(∃A∈Ω)(x∈A)』『(∀A∈Ω)(x∈A)』という『略記方法』の悪い所。

正しくは、
◯『(∃A∈Ω)(x∈A)』は『∃A ((A∈Ω) ∧ (x∈A))』の略記
◯『(∀A∈Ω)(x∈A)』は『∀A ((A∈Ω) → (x∈A))』の略記
です。
「∧」と「→」が違います。(∃A∈Ω) と(∀A∈Ω)という略記方法が出てきて、混乱した時には常にこうやって置き換えてください。

今の場合Ωが空集合なのでした。もう一度考えてみてください。