写像の合成と定義域

質問

写像について、逆写像と定義域がわからないので質問します。
問題は、Aを正の偶数全体からなる集合、Bを正の奇数全体からなる集合として、f:A→Bをf(x)=x-1によって定義する(1)f^(-1)を求めよ。(2)f^(-1)・f、f・f^(-1)(・は合成写像の記号のつもりです。)を求めてそれらの定義域、値域を明らかにせよ。　というものです。
解答(1) fはAからBの上への1対1の写像である・・・(ア)から、その逆写像f^(-1)は存在して、f^(-1)はBからAの上への1対1の写像である・・・(イ)　またf(x)=x-1よりx=f^(-1)(x-1)、x-1=yとおくと、ｘ=y+1よりy+1=f^(-1)(y)すなわちf^(-1)(x)=x+1。
(2) {f^(-1)・f}(x)=f^(-1){f(x)}=f(x)+1=(x-1)+1=x、{f・f^(-1)}(x)=f{f^(-1)(x)}={f^(-1)(x)}-1=x+1-1=x、
ここで(ア)(イ)よりf^(-1)・fはAからAの上への1対1の写像で、f・f^(-1)はBからBの上への1対1の写像である。したがって、f^(-1)・fの定義域、値域ともにA、f・f^(-1)の定義域、値域ともにB。
自分なりに考えてみて疑問があるのですが、問題(1)はf(x)の逆関数を求めればよい、しかしy+1=f^(-1)(y)としては、逆関数を求めるときのxとｙを入れ替えるができないし、解答ではyをxに書き換えるといったことをしている。これが最初の疑問です。問題(2)では{f^(-1)・f}(x)のxはAの任意の要素で、{f・f^(-1)}(x)のxはBの任意の要素であると思うのですが、これはf(x)のxはAの任意の要素で、{f^(-1)(x)}のxはBの任意の要素であり。{f^(-1)・f}(x)=f^(-1){f(x)}とf^(-1)の要素がf(x)、f(x)の要素xはAの任意の要素だからと考えました。同様に{f・f^(-1)}(x)も考えましたが、自分の考えがあっているか疑問です。
どなたか、なぜ問題(1)でyをxに書き換えるかをしてよい理由と、問題(2)で自分の考えがあっているかと、間違っているときは、なぜ解答のようになるのかを教えてください。お願いします。

回答No.1

tmppassenger

多分皆さん質問の意図を掴み兼ねているんでしょうね...

先ず
> 逆関数を求めるときのxとｙを入れ替えるができないし
> 解答ではyをxに書き換えるといったことをしている。
> これが最初の疑問です

『f: A→Bを f(x) = x-1によって定義する』という文言は、別に『f(y) = y-1によって定義する』『f(s) = s-1によって定義する』『f(a) = a-1と定義する』と書いても良い。
固い言葉でいうと、要は『任意のx∊Aに対し、f(x) = x-1と定める』という事であって、『任意のx∊A』のxは全称量化子の変項なのだから、文字をどう書くかは関係ない。
同様にfの逆関数g:B→Aが、『任意のy∊Bに対し、g(y) = y+1となる』と分かったのなら、別に『任意のs∊Bに対し、g(s) = s+1となる』『g(t) = t+1』『g(x) = x+1』と後で「書き直しても」よいのです。

次に、fはAからBへの関数で、fの逆関数gはBからAへの関数ですが、なのでg〇fはAからAへの関数なのだからg〇fの定義域はA。で、g〇f = id_A （A上の恒等写像）なのだから、g〇fの領域はAです。

お礼

分かりにくい質問に、回答いただきありがとうございます。
これからゆっくり本と回答を比べて考えていきます。