フェボナッチ数列と黄金比との関係

質問

ある本に、フェボナッチ数列の隣り合う項の比をとっていくと（a_1/a_2, a_2/a_3,...のように）ある値に収束していき、その値が黄金比になると書いてありました。いきなりのつながりでびっくりしたんですが、フェボナッチ数列と黄金比の間にはつながりがあるんでしょうか？なぜ、収束値が黄金比になったんでしょうか？？教えてください。

回答No.3

taropoo · ベストアンサー

siegmundさんとほとんど答えが重なってしまいましたので
省略した部分について証明しておきましょう。

b_1 = 1, b_n+1 = 1 + 1 / b_n より bn > 1 (n≧2) です。この時

　　　　α = 1 + 1 / α,　　　　…(iii)
　　　　α > 1　　　　　　　　　…(iv)

を満たすαを考えます。実際、２次方程式(iii)の大きい方の解をαとすると
α = (1 + √5) / 2 で、(iv)を満たしています。

では、準備が整いましたのでやって行きましょう。

0 < | b_n+1 - α |
　　　　= | 1 + 1 / b_n - α |
　　　　= | 1 + 1 / b_n - (1 + 1 / α) |　　　　（∵(iii)より)
　　　　= | 1 / b_n - 1 / α |
　　　　= | (b_n - α) / (b_n α) |
　　　　< (1 / α) | b_n - α|　　　　（∵b_n > 1 より)
　　　　< (1 / α)^2 | b_n-1 - α |
　　　　…
　　　　< (1 / α)^n | b_1 - α |
　　　　→ 0 (n→∞)　　　　（∵α > 1より）

ゆえに、lim{n→∞} b_n = α = (1 + √5) / 2

お礼

taropooさん、御回答ありがとうございます。
また、taropooさん以外にも回答していただき、心より感謝申し上げます。
ただ、疑問をもったのは、フィボナッチ数列のとなりあう項の比が黄金比になるのは偶然だったんでしょうか。黄金比とは関わりがなさそうなフィボナッチ数列から黄金比が出てきたことは、なんら関わりもなく出てきたとは考えられません。みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。

回答No.4

taropoo

> みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。

これなんかはいかがでしょうか？（参考URL）
右下の巻貝の図を見ながら頭の中でFn+2＝Fn+1＋Fnを連想するとつながりが見えてくるかも。

あるいはこんな考え方はどうでしょう？
黄金比の長方形から正方形を取り除いた部分はまた黄金比の長方形ですよね。
そこからまた正方形を取り除いた部分もまた黄金比の長方形。これが永遠に繰り返されるわけです。
図を書くと分かるのですが、ある時点で取り除かれた正方形の一辺a_n+2は
その次に取り除かれた正方形の一辺a_n+1とそのまた次に取り除かれた正方形の一辺a_nとを足した長さになってるんです。
つまり
　　　　a_n+2 = a_n+1 + a_n
すなわちフィボナッチ数列の漸化式そのものを表しています。

ちょっと見えてきました？

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/ratio3.html

お礼

本当ですね！ちょっと感激してます。
こんなことに時間を時間をさいていただいてありがとうごさいました。

回答No.2

taropoo

フィボナッチ数列{a_n}って

　　　　a_0 = 1, a_1 =1, a_n+2 = a_n+1 + a_n　　　　…(i)

ですよね。この２項間の比を取った数列{b_n}は、(i)の漸化式より

　　　　a_n+2 / a_n+1 = 1 + a_n / a_n+1 = 1 + 1 / (a_n+1 / a_n)
　　　　b_n+1 = 1 + 1 / b_n, b_1=1　　　　…(ii)

となります。(ii)の極限値を求めるにはb_n+1, b_nをαとおいて出来る２次式の正の解をとればいいです。
（本題と外れるので何故それで極限値が求まるのかは記しません。必要でしたらおっしゃってください。）

　　　　α = 1 + 1 / α
　　　　α^2 - α - 1 = 0
　　　　α > 0　より　α = ( 1 + √5) / 2

故に

　　　　lim{n→∞} a_n+1 / a_n = ( 1 + √5) / 2

つまり、フィボナッチ数列の２項間の比の極限は黄金比に収束します。

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/ratio2.html

回答No.1

siegmund

フェボナッチでなくて，フィボナッチと言う方が普通のようですが...
(所詮，外国人名なので，表記の違いはあるかも知れません)．

フィボナッチ数列の定義は
(1)　　a(0) = 1
(2)　　a(1) = 1
(3)　　a(n) = a(n-2) + a(n-1)
で，1，1，2，3，5，8，13，... となります．

比を取って，b(n) = a(n)/a(n-1) とすると，(3)から
(4)　　b(n) = 1/{b(n-2)} + 1
あるいは，同じことですが
(5)　　b(n) b(n-2) = b(n-2) + 1
です．
b(n) の極限値が b(∞) が存在するなら，(5)から
(6)　　{b(∞)}^2 = b(∞) + 1
ですから，この２次方程式を解いて，正の方の解を選び(明らかに b(n) は正)
(7)　　b(∞) = (√5 - 1)/2
で，黄金比になります．
本当は，極限値が存在することの証明が必要ですが，さぼりました．

なお，フィボナッチ数列の一般項(初項は第０項)が
(6)　　(1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式)．

下のスレッドもご覧下さい．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219

お礼

御回答ありがとうございます！！
フィボナッチ数列の一般項も求めたかったので、参考になります。
もしよろしければ、ビネの公式の証明も教えていただけないでしょうか。