台形の中の三角形の面積は台形の何倍か？

質問

台形の中にある三角形が台形の何倍になるかを求める問題です。等積変形や相似をつくって考えてみましたがうまくいきません。何かに気がついていないか、見落としているような気がするのですが、教えていただけると幸いです。子供の勉強を見てあげています。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

△ADE = △BCEより、△ADEの高さの比 = 5, △BCEの高さの比 = 3と表わせる。
したがって、台形ABCDの高さの比 = 8と表わせる。
△ADE = 6 * 比の5 ÷ 2 = 比の15
台形ABCD = (6 + 10) * 比の8 ÷ 2 = 比の64
∴△ADEは台形ABCDの面積の15/64倍

補足

ありがとうございます、なるほど簡潔な方法で美しいと思いました。回答で「△ADEの高さの比＝５、△BCEの高さの比＝３と洗わせる」と書かれています。AD:BC＝３：５から導くと思いますが、その過程がわかりません。どういうふうに高さの比を求めたらいいんでしょう。ご教示ください。

回答No.7

staratras

>AD:BG＝６：１０の比がなぜ「△ＤＧＣと△ＤＨＦの相似比は(10+6):10=8:5 」になるのかお教え願えませんか。

△ＡＤＥと△ＢＣＥの(平行な）底辺の比が6:10で面積が等しいので、高さの比はその逆の10:6になりますが、この三角形の高さの比はすなわち3つともそれぞれ平行な線分であるＡＤとＥＦの距離：ＥＦとＢＣの距離でもあります。

したがって△ＤＧＣの高さ：△ＤＨＦの高さ＝ＡＤとＢＣの距離：ＡＤとＥＦの距離であり、(10+6):10=8:5　でこれが相似比になります。
肝心のところの説明を省いて失礼しました。

お礼

なるほど面積が等しいので底辺比の逆比が高さに反映されていると考えれば良いですね。他の回答者さんの解法とその部分のロジックは同じだということがわかりました。有難うございます。

回答No.6

asuncion

同じ道のりを進む速さが3 : 5のとき、
かかる時間の比は5 : 3になるのと同じ理屈です。

回答No.5

asuncion

面積が等しくて、底辺の比が6 : 10 = 3 : 5ですから、
高さの比は必然的に底辺の比の逆比、つまり5 : 3になります。

お礼

投稿してすぐに気が付きました。聞くまでもなかったです。ありがとございます。

回答No.4

kiha181-tubasa

難しいな……と思ったら，基本に忠実にコツコツと解くのが良いと思います。
ご存知のように，三角形の面積は(1/2)×(底辺)×(高さ)，台形の面積は(1/2)×(上底＋下底)×(高さ)ですね。これをきちんと使います。わからない値は文字を使いましょう。
では
△ＡＤＥにおいて辺ＡＤを底辺としたときの高さをｓcm
△ＢＣＥにおいて辺ＢＣを底辺としたときの高さをｔcm
とします。
△ＡＤＥ＝(1/2)×6×ｓ＝3ｓ
△ＢＣＥ＝(1/2)×10×ｔ＝5ｔ
△ＡＤＥの面積と△ＢＣＥの面積が等しいのだから
3ｓ＝5ｔ
∴ｔ＝(3/5)ｓ　……①

次に，台形ＡＢＣＤの高さはｓ+ｔになるから
台形ＡＢＣＤ＝(1/2)×(6+10)×(ｓ+ｔ)＝8ｓ+8ｔ
これに①を代入して
台形ＡＢＣＤ＝8ｓ+8×(3/5)ｔ＝(64/5)ｓ

従って
△ＡＤＥ/台形ＡＢＣＤ
＝(3ｓ)/((64/5)ｓ)
＝(3×5)/64
＝15/64　……(答)

※参考書や問題集の模範解答には，鮮やかなエレガントな解法が示されてる場合がありますが，それを見ても，実際に再現できますか。
基本を使って泥臭くコツコツが一番強いです。難関大学の２次試験なんかはそんな問題が多い。公式を使って解くのではなく，その公式を証明する方法を使うような問題等……。

お礼

相似で解くのだと先入観があり解答方針に柔軟性がなかったようです。目から鱗でした、

補足

なるほど、変数が２つも出てきて連立方程式になるかと思ったのですが、最後には２つの変数が消えるのですね。２つの三角形が等しいという問題の条件はヒントになっていて”そうそう、そう解くんだよ”と言っているように聞こえます。感嘆の声をあげて読みました。ありがとうございました。

回答No.3

staratras

次のように考えることもできます。
ＤからＡＢに平行な直線を引き、ＢＣ、ＥＦと交わる点をそれぞれＧ，Ｈとします。
四角形ＡＢＧＤは平行四辺形になるので、ＧＣ=10-6=4　
三角形ＤＧＣと三角形ＤＨＦは相似になり、相似比は(10+6):10=8:5 だから
ＨＦ=4×(5/8)=2.5 したがって　ＥＦ＝6+2.5=8.5
三角形ＤＥＦの面積は三角形ＡＤＥの面積の（8.5/6）倍
三角形ＦＥＣの面積は三角形ＢＣＥ（＝三角形ＡＤＥ）の面積の(8.5/10)倍
まとめると台形ＡＢＣＤ全体の面積は
三角形ＡＤＥの面積の1+(8.5/6)+1+(8.5/10)=(64/15)倍
したがって三角形ＡＤＥの面積は台形ＡＢＣＤの面積の(15/64)倍

補足

ありがとうございます。AD:BG＝６：１０の比がなぜ「△ＤＧＣと△ＤＨＦの相似比は(10+6):10=8:5 」になるのかお教え願えませんか。

回答No.2

qwe2010

条件さえ整えれば、どんな台形でもよいはずです。
DAB,ABC,の角度を90度
ABの長さを16㎝として、計算してみればよいと思います。