確率 高校数学
- 確率p1,p2,p3,p4,p5を求める問題について解説します。
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- p1は4枚の番号が連続する確率、p2は2枚だけ連続するカードが2組である確率、p3は3枚だけ連続する確率、p4は2枚だけ連続する確率、p5はどの2つの番号も連続しない確率を表します。
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確率 高校数学
1からnまでの番号がひとつずつ書かれたn枚のカード(n≧7)から、同時に4枚を抜き出す。この試行において、確率p1,p2,p3,p4,p5を次の様に定める。 p1:4枚の番号が連続する確率 p2:1,2 ; 5,6の様に4枚は連続せず、2枚だけ番号が連続するカードが2組である確率 p3:1,2,3 ; 6の様に4枚ではなく3枚だけの番号が連続する確率 p4:1,2 ; 4 ; 6の様に3枚は連続せず、2枚だけ番号が連続する確率 p5:どの2つの番号も連続しない確率 この時、 p1=ケ, p2=コ, p3=サ, p4=12(n-4)(n-5)/n(n-1)(n-2) , p5=(n-4)×シ/n(n-1)(n-2)である。 よろしくお願いします。
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p1=24/(n(n-1)(n-2)) p2=12(n-4)/(n(n-1)(n-2)) p3=24(n-4)/(n(n-1)(n-2)) p4=12(n-4)(n-5)/(n(n-1)(n-2)) p5=(n-4)(n-5)(n-6)/(n(n-1)(n-2)) どうしてこうなるかは自分で考えてみてね。
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1回の試行で事象Aの起こる確率はpであってAが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる、この試行を繰り返し行うとき、得点が途中で丁度n点となる確立をp[n]とする ただし、p[0]=1とする (1)p[n](n>=2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ、つぎにp[n]をn,pの式で表せ (2)得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ 解説(1)最後に1点か2点が加わってn点になるがこの場合分けは排反で、しかもn点になるすべての場合を尽くしているから p[n]=p[n-1](1-p)+p[n-2]p (n>=2) ここで方程式x^2=(1-p)x+pの解が1,-pであることに着目して、この漸化式を変形すると p[n]-p[n-1]=-p(p[n-1]-p[n-2]) p[n]+p・p[n-1]=p[n-1]+p・p[n-2] よってp[n]-p[n-1]=(-p)^(n-1)(p[1]-p[0]) p[n]-p・p[n-1]=p[1]+p・p[0] p[0]=1,p[1]=1-pによりp[n]-p[n-1]=(-p)^n p[n]+p・p[n-1]=1 この2式からp[n]を消去するとp[n-1]={1-(-p)^n}/(1+p)よって p[n]={1-(-p)^(n+1)}/(1+p) (n>=1であるが、n=0のときもOK) (2)n点にならないなら、必ずn-1点になるから題意の事象はn-1点になり、つぎにAが起こりn+1点になって、その後の合計がn-1点になるといいかえることができるから、求める確率は p[n-1]・p・p[n-1]=p[{1-(-p)^n}/(1+p)]^2 研究 p=1/2のとき、p[n]≒2/3となりますが、このとき平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられることから納得のいく結論です 研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです ●と○の意味も教えてください
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A,B2人がコインを1個ずつ持ち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら表の出た方に○、裏の出た方に×、またともに表かともに裏ならどちらにも△を与える、そして繰り返し投げて、間に×をはさまずに○を2個先に取ったほう(△をはさんでもよい)を勝ちとする このとき、n回目(n>=2)で勝負が決まる確率を求めよ 解説 n回中k回が△となる確立は[n]C[k](1/2)^k×(1/2)^(n-k)=[n]C[k]/2^n ｎ回中k回が△であるという条件の下でｎ回目にまだ勝負がつかないのは、n回目までの△を除くn-k回についての星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●... となることで、このようになる確率は(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1） よってn回目にまだ勝負が付かない確率P[n]はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[n]/2^n=2(3/4)^n-1/2^n したがって求める確率はP[n-1]-P[n]=1/2×(3/4)^(n-1)-1/2^n とあったのですが 解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が (1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1）とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか？ よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません 求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません
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お礼
ありがとうございました。無事に解決いたしました。