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三角関数と複素数について
gamma1854の回答
- gamma1854
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もちろん、複素関数としての定義です。 まず指数関数 f(z)=exp(z)を、Re(f(z)=e^x*cos(y), Im(f(z)=e^x*sin(y). で定義し、この合成関数として、三角関数を定義します。 このとき、 cos(z)=cos(x+i*y) = cos(x)*cosh(y) - i*sin(x)*sinh(y). sin(z) = sin(x)*cosh(y) + i*cos(x)*sinh(y). となります。y=0であれば、実関数としての三角関数です。
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補足
回答ありがとうございます。学生の頃にこうだ、と思っていた定義が実は違っていた、あるいは狭義であった(今回は実数限定だと思っていた)ということがあるとしたら、定義の決定版はどこで学ぶべきでしょうか。あるいはさらに何か発見されたことがきっかけでさらに定義が進化するということがあるのでしょうか。今回、ずっと思っていたの違うため、定義が変更を受けたという風にも見えてしまうのですが。e^iθ=cosθ+isinθということですから、複素数とは無関係とも思っていなかったのですが、この式においてもθが複素数というのはあまり想定していないのではないかと思うのですが。