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ルベーグ積分の問題

fがR上の積分可能関数でΨはξ∈Rの連続関数。 fは可積分のとき以下の式が連続関数である事を示せ

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回答No.1

Ψはξ∈Rの連続関数『であることを示せ』ですよね。 | Ψ(ξ+η) - Ψ(ξ) | = | ∫ (exp(-ixη) - 1) f(x) exp(-ixξ)x | ≦∫ | exp(-ixη) - 1| |f(x)| dx。 ここで、 | exp(-ixη) - 1| |f(x)| < 2|f(x)| であって、 2|f(x)|は可積分。更に https://okwave.jp/qa/q9775279.html と同じく、fが可積分であるから、|f|はa.e.で <∞ である故、 (exp(-ixη) - 1) → 0 (η→0)であるから、 |exp(-ixη) - 1| |f(x)| はη→0で0に概収束する。 従って Lebesgueの優収束定理によって、∫ | exp(-ixη) - 1| |f(x)| dx は η→0の時0に収束するから、lim(η→0) (Ψ(ξ+η) - Ψ(ξ)) = 0。これはΨが連続であることを示している。

ranranna
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