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ルベーグ積分の質問です。

(1)f,gをE∈Md上で0≦f≦gを満たす可測関数とするとき ∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。 (2)f,gをE∈Md上でf≦gを満たす可積分関数とするとき ∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dxを示せ。 これはどのように示せばいいのでしょうか？ 定義から0≦s≦f(あるいはg)を満たす単関数を取って、 それのsupを取ったとしても常に不等式が成り立つかどうか、 少しわからないところがあります。

みんなの回答

  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.1

(1)だけ。0≦s≦fなる単関数を取れば当然に0≦s≦g。 したがってルベーグ積分の定義によりΣs≦∫_E g(x)dxである。 sについてsupを取れば∫_E f(x)dx ≦∫_E g(x)dx。

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