数学の証明問題

質問

数学の証明問題の解答を見出せずに悩んでいます。
問題は二等辺三角形であることの証明問題です。

回答No.1

BUN910 · ベストアンサー

https://jsciencer.com/higschmath/kikagaku/6638/
ここの2つ目(重心)にヒントがあります。

辺BD＝辺CE
BCは共通
中央の交点を「O」とする。

△BOEと△CODが合同であることを証明すればよいのですから、
頂点から2辺の中心に線を下した時、交わるの長さは頂点から2：1である。
辺BD＝辺CEであることから、
辺BO＝辺COであり、辺EO=辺DOである。
∠ECBと∠DOCは対角で等しい。
∠ECB＝∠DOC
2辺と間の角度が同じであるから、△BOEと△CODが合同である。
△BOE＝△COD
これから、
辺EBと辺DCの長さが等しくなり、点Eと点Dはそれぞれの中点であることから
辺AB＝辺AC
2辺の長さが等しいので、△ABCは二等辺三角形である。

ですね。

お礼

ご解答有難うございます。
簡単そうに見えて難問なんですね。
詳細な解答、ありがとうございます。

回答No.2

staratras

この問題は「見かけは易しそうなのに実は難しい」典型的な問題です。

二つの三角形、△EBCと△DCBが合同であることを示せれば「一件落着」なのですが、実はそれがBDとCEが「角の2等分線」の場合は容易ではないのです。仮にBDとCEが「垂線」や「中線」であったとすれば簡単ですが…。

そこで、解法としては次の3通りが考えられます。
１、背理法で（初等幾何）で解く（∠B>∠Cとして矛盾を導く）
２、BD、CEの長さをもとの三角形ABCの辺の長さの式で表し、BD=CEからAB=ACを導く
３、座標幾何を使って考える

１、は面倒な計算はありませんが、柔軟な発想が必要で、２と３はかなり面倒な計算量なので、計算でゴリゴリやるのが苦にならない人向きです。

なおこの問題は「シュタイナー・レームスの定理」と呼ばれる問題です。

お礼

詳しい解説有難うございます。
参考にさせていただきます。