動学最適化問題

質問

min∫x(t)^2+｛Δx(t)/Δt｝^2Δt　区間(0,1)

Ｘ={x(t)は連続微分可能、x(0)=x(1)=1

オイラー方程式は、

x(t)=Δ/Δt(Δx(t)/Δt) となります。

この問題の解答は

x(t)=1/e+1(e^t+e^1-t)となります。

どうしてもオイラー方程式から解答に導くことができません、どなたかうまく説明できる方はいませんか？

回答No.1

mmky · ベストアンサー

x(t)=d/dt(dx(t)/dt)
微分方程式
x''-x=0
D^2-1=0
D=±１
解
x(t)=Ae^t+Be^-t
条件
x(0)=1
x(1)=1
A=(1/e-1)/{1/e-e}=(1-e)/(e^2-1)=1/(e+1)
B=(e-1)/{e-1/e}=e(e-1)/(e^2-1)=e/(e+1)
だから、
x(t)={1/(e+1)}(e^t+e^1-t)
ということですね。