式の変換がわからない

質問

画像の問題を解いています。青線と赤線を引いた箇所の式の変換がわからないです。
なぜこのように式変換をしているのでしょうか？

回答No.1

jcpmutura

その上の
ヒント!に
自由度nのχ^2分布の確率密度c_n(x)を用いて,このモーメント母関数は,
M_c(θ)=E_c[e^{θx}]=∫_{0～∞}e^{θx}c_n(x)dxとなるんだったね。
と書いてある通りだから
E_c[e^{θx}]=∫_{0～∞}e^{θx}c_n(x)dx
としている
自由度nのχ^2分布の確率密度
c_n(x)=(A_n)x^{n/2-1}・e^{-x/2},(A_n=1/[2^{n/2}Γ(n/2)])
を用いて
と書いてある通り
∫_{0～∞}e^{θx}c_n(x)dx
のc_n(x)に(A_n)x^{n/2-1}・e^{-x/2}を代入すると
E_c[e^{θx}]
=∫_{0～∞}e^{θx}(A_n)x^{n/2-1}・e^{-x/2}dx
=A_n∫_{0～∞}x^{n/2-1}e^{θx}e^{-x/2}dx
=A_n∫_{0～∞}x^{n/2-1}e^{-(1/2-θ)x}dx
t=(1/2-θ)xとすると
x=t/(1/2-θ)
dx=1/(1/2-θ)dθ
x=0の時t=0
x→∞の時t→∞
だから
E_c[e^{θx}]
=A_n∫_{0～∞}{t/(1/2-θ)}^{n/2-1}e^{-t}{1/(1/2-θ)}dt
=A_n∫_{0～∞}{1/(1/2-θ)}^{n/2-1}t^{n/2-1}{1/(1/2-θ)}e^{-t}dt
=A_n{1/(1/2-θ)}^{n/2}∫_{0～∞}t^{n/2-1}e^{-t}dt
↓Γ(n/2)=∫_{0～∞}t^{n/2-1}e^{-t}dt
↓A_n=1/[2^{n/2}Γ(n/2)]
↓だから
=(1/[2^{n/2}Γ(n/2)]){1/(1/2-θ)}^{n/2}Γ(n/2)
=(1/[2^{n/2}]){1/(1/2-θ)}^{n/2}
={1/(1-2θ)}^{n/2}
=(1-2θ)^{-n/2}