湯の温度 微分方程式
- 【タイトル】湯の温度微分方程式とは？気温変化による温度変化を解析【要約】微分方程式と負の数の関係についてわからない点を質問します。火を止めてからの湯の温度の変化を解析するために、微分方程式を使用し問題を解いています。
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湯の温度 微分方程式
微分方程式と負の数?がわからないので質問します。 気温が20℃のとき、風呂をわかしすぎて60℃にしてしまった。あわてて火を止め、３０分後に湯の温度を測ると50℃に下がっていた。温度の下がる速さは気温との温度差に比例するとして、湯の温度が40℃になるのは火を止めてから約何分後かをいえ。ただし。loge2≒0.7、loge3≒1.1とする。 火を止めてからt分後の湯の温度が気温よりx℃高いとすると、温度の下がる速さは、-dx/dtで与えられる。一つ目のわからない点はなぜ-がつくかということです。dx/dtは正負両方ともとるかもしれないので、-をつけて符号を逆にしているだけのように思えます。また負の速さを表すとしてもなにを表しているのかわかりません。 解説では続いて、そこで次の微分方程式が成り立つ。 -dx/dt=kx・・・(1)、x(0)=40・・・(2)、x(30)=30・・・(3) (1)、(2)より dt/dx=-1/(kx)、 t(40)=0 ゆえに(1)の両辺をxで40からxまで積分して、 ∫(40→x)(dt/dx)dx=-1/k∫(40→x)(1/x)dx ∴ [t(x)](40→x)（注）下端40 上端ｘです。=-1/k[logx](40→x) ∴x=40e^(-kt) 二つ目のわからないところは、t(40)=0でxが減少(増加)するとｔが増加(減少)するので、40より大きいxを代入した、t(x)=tは負になると思います。tが正のときの、湯の温度と気温との差xとの関係を求めるのに、tが負(t分前)のもとにした式を使っていいのかと思いました。 どなたか-dx/dtで何を表しているのか？tが負(t分前)の式をt分後の方程式につかっていいのか? を答えてください、おねがいします。
- situmonn9876
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> 一つ目のわからない点はなぜ-がつくかということです。 tが大きくなるときxは小さくなる。したがってdx/dtは正であり，-dx/dt=kxとすることで比例定数kを正にしています。もちろんk<0としても間違いではないですが，それは問題を考えるときに間違いを犯しやすくなるでしょう。比例定数kは正の方が考えやすいのです。 > tが負(t分前)のもとにした式を使っていいのかと思いました。 積分するとき上端が下端よりも大きいとは決まっていません。したがってtが負のときを考えているとは限らないのです。 ただし，ここで作った-dx/dt=kxはtが正のときの温度の挙動から作ったことは確かですが，それをtが負のときに延長した関数を説いていると思えば，「tが負(t分前)のもとにした式を使っていい」のです。
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- f272
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#1です。 「tが大きくなるときxは小さくなる。したがってdx/dtは正であり」は嘘に決まってるよね。この文章だけでも判断できます。 「したがってdx/dtは負であり」が正しい。
お礼
お返事ありがとうございます。
補足
再度質問してすみません。よかったらお返事ください。 -dx/dt=kxとすることで比例定数kを正にしています。について左辺が正、ｘが正より比例定数kが正になっている。と考えてよろしいでしょうか？ 間違っていたら、訂正おねがいします。
- jcpmutura
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dx/dtは正ではありません dx/dtは負です 火をとめてからt分後の温度が気温よりx℃高いとする tが増加した時温度差x(t)は下がるのだから Δt>0の時x(t+Δt)<x(t) だから Δt>0の時{x(t+Δt)-x(t)}/Δt<0 Δt<0の時x(t+Δt)>x(t) だから Δt<0の時{x(t+Δt)-x(t)}/Δt<0 Δt≠0の時 {x(t+Δt)-x(t)}/Δt<0 だから dx/dt=lim_{Δt→0}{x(t+Δt)-x(t)}/Δt≦0
お礼
場合分けして計算してくれて、しっかりとした根拠になりました。 ありがとうございます。
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