制動時の減速度又は走行時間の求め方を教えてください

質問

• 制動時の減速度又は走行時間の求め方を教えてください。落下する物体Ａをブレーキ装置を作動させて停止させます。ブレーキ作動（制動開始）から停止するまでの減速度又は走行時間の求め方を教えてください。
• 物体Ａが滑車を介して物体Ｂとロープで繋がれている状態で、ブレーキ装置を使って物体Ａを停止させる方法を教えてください。ブレーキ装置はロープを挟み込んで制動力を発生させます。ブレーキ装置の摩擦係数、押付力、物体Ａと物体Ｂの質量、滑車の直径と慣性モーメントの条件が与えられています。
• 以下の条件が与えられた状況で、物体Ａを停止させるための減速度または走行時間を求める方法を教えてください。条件としては、物体Ａがブレーキ作動（制動開始）から停止までの速度、ブレーキ装置の摩擦係数、押付力、物体Ａと物体Ｂの質量、滑車の直径と慣性モーメントが与えられています。

回答No.7

noname#230359

今一度考察してみました。

「ロープは剛体ではない」という前提なので、それをどうモデル化するかがポイントと思います。

ここでのモデルは、滑車と物体間、ブレーキ摩擦作用点と滑車間、ブレーキ摩擦作用点と物体間、においてロープがたるむ場合には、その間の張力はゼロとすることで、ロープを剛体とみなしません。また、その間のロープがピンと張っている場合は、ロープを剛体とし、たとえば細い棒でつながれているものとしています。

A側にブレーキ機構を設置した場合です。

ロープが物体Aを引っ張る張力を Ta, 物体Bを引っ張る張力を Tb, 物体Aの下方向への移動距離を xa, ブレーキ機構による摩擦力を fd とします。
物体Aの側で滑車がロープを引っ引っ張る張力を Ta', 物体Bの側のそれを Tb' とします。
滑車の回転角度をθとし、xa が正の向きでθも正です。

dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。

まず、物体Aの落下速度 v0 の時にブレーキを稼働させた場合、物体A側の滑車とブレーキ摩擦作用点の間でロープがたるむのかどうかを調べなければなりません。

次のモデルを考えます。

前提条件から、ロープがたるむ場合、Ta' = 0 です。したがって次の運動方程式を得ることができます。

d/2 * (-Tb) = J * ddot{θ}
Ma*g - fd = Ma * ddot{xa}
Mb*g - Tb = -Mb * d/2*ddot{θ}

これを解いて、ddot{θ}とddot{xa}を得ます。私はフリーの Maxima さんに計算してもらいました。

ddot{θ} = -2*d*g*Mb / (4*J + d*d*Mb)
ddot{xa} = (g*Ma - fd) / Ma

ddot{θ}は滑車の角加速度ですから、その周加速度 ddot{xa'} に変換します。

ddot{xa'} = ddot{θ}*d/2 = -d*d*g*Mb / (4*J + d*d*Mb)

仕様から、g*Ma > fd なので、物体A の落下加速度は正、物体Aは加速しながら落下することになります。

一方、滑車の周速度は負です。

「物体Aが加速しているのに滑車の周速度は減速する」ことはあり得ないので「ロープがたるむ」とした仮定とそのモデルは成り立ちません。

したがって、この仕様ではロープがたるまない。

つまり剛体として扱ってよいことになります。

物体Aが停止するまでの時間を求めます。

ロープはたるまないのですから、高等学校物理の「剛体の運動」の知識で解くことができます(回答(1)参照)。

偉そうに大学基礎物理の「動力学」の見地で解いてみます(いや、解くのは Maxima さんですが。)

運動方程式は下です。

d/2 * ( Ta - fd - Tb ) = J * ddot{θ}
Ma * g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb * g - Tb = -Mb * d/2 * ddot{θ}

xa = d/2 * θ

これから、

dot{xa} = 0

となる時間を求めると、

t = v0*( 4*J + d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

となりました。

仕様から、

t = 0.1778 sec

です。

移動距離は

v0 * t/2 = 0.04445 m

たぶん、回答(1)と同じ結果と思います。

物体B側にブレーキ機構を設置した場合については、また別の機会に。

おっ～と、ちょっとtypeミス。

> 一方、滑車の周速度は負です。

↓

> 一方、滑車の周加速度は負です。

重ねがさね恥ずかしい。

> t = v0*( 4*J + d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

↓

t = v0*( 4*J + d*d*(Ma + Mb) ) / ( d*d*( g*(Mb - Ma) + fd) )

物体B側にブレーキ機構を設置した場合です。

ロープが物体Aを引っ張る張力を Ta, 物体Bを引っ張る張力を Tb, 物体Aの下方向への移動距離を xa, 物体Bの下方向への移動距離を xb, ブレーキ機構による摩擦力を fd とします。
物体Aの側で滑車がロープを引っ引っ張る張力を Ta', 物体Bの側のそれを Tb' とします。
滑車の回転角度をθとし、xa が正の向きでθも正です。

dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。

まず、物体Aの落下速度 v0 の時にブレーキを稼働させた場合、物体B側のブレーキ摩擦作用点と物体Bの間でロープがたるむのかどうかを調べなければなりません。

次のモデルを考えます。

物体A側にブレーキ機構を設置した場合と同様に、ロープがたるむ場合、Tb = 0 とします。次の運動方程式を得ることができます。

d/2 * (Ta - fd) = J * ddot{θ}
Ma*g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb*g = -Mb * ddot{xb}

これを解いて、ddot{θ}とddot{xb}を得ます。今回もフリーの Maxima さんに計算してもらいました。

ddot{θ} = 2*d*(g*Ma - fd) / (4*J + d*d*Mb)
ddot{xb} = -g

ddot{θ}は滑車の角加速度ですから、その周加速度 ddot{xb'} に変換します。

ddot{xb'} = ddot{θ}*d/2 = d*d*g*(g*Ma - fd) / (4*J + d*d*Mb)

仕様から、g*Ma > fd なので、滑車の周加速度は正です。

一方、物体Bの加速度は負です。

「滑車の周速度が加速しているのに物体Bが減速する」ことはあり得ないので「ロープがたるむ」とした仮定とそのモデルは成り立ちません。

したがって、この仕様ではロープがたるまない。

つまり剛体として扱ってよいことになります。

物体Aが停止するまでの時間を求めます。

やはり偉そうに大学基礎物理の「動力学」の見地で解いてみます(いやいや、解くのは Maxima さんですが。)

運動方程式は下です。

d/2 * ( Ta - Tb - fd ) = J * ddot{θ}
Ma * g - Ta = Ma * d/2 * ddot{θ}
Mb * g - Tb = -Mb * d/2 * ddot{θ}

xa = d/2 * θ

式の形は、物体A側にブレーキ機構を設置した場合と同一なので、以下略。。。。。

お礼

何度も回答いただき、ありがとうございます。

ロープが剛体か、否かについて
下名の説明が解りづらく申し訳ありません。

てっきり、剛体＝引き上げられる側Bが制動時に飛び跳ねる上方向の
　　　　　　　　力が制動力に影響する

と思ってしまい、剛体ではないです。と回答してしまいました。

制動力が極端に大き過ぎる（B側が飛び跳ねるほどに、ロック状態）
のならば、瞬間的にはロープが緩むと思いますが、
すべりを伴いながらの制動力なので、飛び跳ねて緩むことは
ないと思います。

どのように説明したらよいのか...

物体A側の滑車とブレーキ摩擦作用点の間でロープはたるみません。
滑車はブレーキ制動時はフリーの状態です。

ロープは常にピーンと張っています。

A側とB側をフォークリフトで持ち上げるとロープは緩みます。

説明がへたくそですみません。