高次方程式

質問

x^4-10 x^3+5 x^2+100 x+84-k =0 の判別式　D を求めて下さい;

D=0 と　なる　kを求め　小さい方を　k1 とする。
x^4-10 x^3+5 x^2+100 x+84を因数分解して下さい;

方程式 x^4-10 x^3+5 x^2+100 x+84=k1 を　多様な発想で解いて下さい；

回答No.3

f272

#2です。
わかると思うけど，書き間違いがあった。

「考えている式のyの2次の係数は0であるので」は「考えている式のyの1次の係数は0であるので」
「だから16(3969/16-k)(4(3969/16-k)-(65/2)^2)であって」は「だから16(3969/16-k)(4(3969/16-k)-(65/2)^2)^2であって」

回答No.2

f272

x^4-10x^3+5x^2+100x+84-k =0
まずx=y+5/2で変数変換を行う。
(y+5/2)^4-10(y+5/2)^3+5(y+5/2)^2+100(y+5/2)+84-k =0
y^4-(65/2)y^2+3969/16-k =0
ここで一般に
y^4+by^2+cy+d/4=0
の判別式は
4d^3-8b^2*d^2+(36c^2*b+4b^4)d-(27y^2+4b^3)c^2
であるが，考えている式のyの2次の係数は0であるので
4d^3-8b^2*d^2+4b^4*d
4d(d-b^2)^2
となる。だから
16(3969/16-k)(4(3969/16-k)-(65/2)^2)
であって，これが0のときには
k=3969/16またはk=3969/16-(65/2)^2/4=-16
である。これらのうち小さいほうがk1であるならk1=-16
また
x^4-10x^3+5x^2+100x+84
を因数分解すると
(x+1)(x^3-11x^2+16x+84)
(x+1)(x-6)(x^2-5x-14)
(x+1)(x-6)(x+2)(x-7)
となる。
さらに
y^4-(65/2)y^2+3969/16=k1
を解くと
y^4-(65/2)y^2+(65/2)^2/4=0
(y^2-65/4)^2=0
y=±√65/2
となるので
x^4-10x^3+5x^2+100x+84=k1
の解は
x=(5±√65)/2
である。

回答No.1

jcpmutura

四次多項式
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
の判別式は
D=256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2
だから
x^4-10x^3+5x^2+100x+84-k=0
の判別式は
D=256(84-k)^3+192000(84-k)^2-3200(84-k)^2+7200000(84-k)-2700000000+72000(84-k)^2-6000000(84-k)+2000000(84-k)-900000000+10000(84-k)-5000000-270000(84-k)^2-9000000(84-k)+4000000000-50000(84-k)+25000000
D=16(3969-16k)(k+16)^2
だから
D=16(3969-16k)(k+16)^2=0
となるkは
k=-16
又は
k=3969/16
で
-16<3969/16
だから小さい方は
k1=-16

x^4-10x^3+5x^2+100x+84
を因数分解すると
x^4-10x^3+5x^2+100x+84=(x+1)(x+2)(x-6)(x-7)

方程式
x^4-10x^3+5x^2+100x+84=k1=-16
↓左辺を因数分解すると
(x+1)(x+2)(x-6)(x-7)+16=0
(x+1)(x-6)(x+2)(x-7)+16=0
↓(x+1)(x-6)=x^2-5x-6
↓(x+2)(x-7)=x^2-5x-14
↓だから
(x^2-5x-6)(x^2-5x-14)+16=0
↓X=x^2-5xとすると
(X-6)(X-14)+16=0
↓展開すると
X^2-20X+100=0
↓因数分解すると
(X-10)^2=0
↓
X-10=0
↓X=x^2-5xだから
x^2-5x-10=0
↓
∴
x=(5±√65)/2