数学の重複組合せについて解説
- 数学の重複組合せについて、公式の使い方や右側の値について教えてください。
- 重複組合せの公式は(n+r-1)C(r-1)となる場合と(n+r-1)C(r)となる場合があります。
- 正しい右側の値はr-1ではなくrであり、その理由について教えてください。
- ベストアンサー
数学 重複組合せについてお願いします。
よろしくおねがいします。 以前こちらで組み合わせの問題で重複組合せを教えて頂きました。 その際、とてもご丁寧にご指導いただき 公式に導いていただき納得していました。 その公式は以下の通りです。 (n+r-1)C(r-1) 既にこの公式になる理由もその時に理解していました。 とても感謝しました。 ですが最近色々なサイトで重複組合せを勉強していると (n+r-1)C(r) となっていることに気が付きました。 この コンビネーションＣの右側が ｒが正しいのか ｒ-1とどちらが 正しいのか教えて下さい。 ｒ－１になる理由はその時に教えていただきました。 とても理解できましたが右側がｒ個との違いを教えて下さい。 よろしくお願いします。
- thatall
- お礼率92% (521/566)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数6
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
前回に書いたのは https://okwave.jp/qa/q9385114.html です。ここでは r種類からn個を選ぶときは，n個の◯と(r-1)個のーからなる合計(n+r-1)個の記号から(r-1)個のーを置く場所を選ぶということで，(n+r-1)C(r-1)です。 と書きました。 公式は https://mathtrain.jp/tyohukuc 例えばここでは，n種類のものから重複を許してr個選ぶ場合の数は nHr=(n+r－1)Cr と書いてあります。 ここからわかるようにnとrが逆になっています。従って前回書いたものを公式にあるように書き直すと n種類からr個を選ぶときは，r個の◯と(n-1)個のーからなる合計(n+r-1)個の記号から(n-1)個のーを置く場所を選ぶということで，(n+r-1)C(n-1)です。 になりますが(n+r-1)C(n-1)=(n+r-1)Crですから結局のところ(n+r-1)Crですになって公式に一致します。
その他の回答 (2)
- yougamaster
- ベストアンサー率50% (60/120)
no1の訂正です。 終わりの部分 「例えば、図の問題で、3種類の果物は各種類、最低1個はかうものにする という条件が付いた場合(n+r-1)C(r-1)になるのではないでしょうか？」 は誤りです。図の問題で、3種類の果物は各種類、最低1個はかうものにする という条件が付いた場合 各果物を1個づつ買って さらに残り２個はどの果物を買っても良いと 言われているのに等しいので、３H2＝４C2 となりますね。 (n+r-1)C(r-1)のr-1についてはどうしてこうなるのか不明です！ なにか、タイプ間違いか写し間違い、または、どなたかが勘違いしているのかもしれませんね。 私は以前、塾講師をしていましたが、ネットから得た情報は１００％正しいのか という疑問があったので、子供に教えるときは、参考書から得た知識を伝えていました。このように情報に差があるときは、参考書などを確認されることをお勧めいたします。
お礼
何度もありがとうございました。 教えていただいた意味も充分に理解できました。 １個を必ず選ばないといけない時も理解していました。 ですが私の勘違いでした。nとｒの間違えでした。 本当に申し訳ありませんでした。 でも感謝しています。お世話になりました。 お礼まで。
- yougamaster
- ベストアンサー率50% (60/120)
重複組合せ・・・異なるｎ個のものから重複を許してｒ個取る組み合わせの数は ｎHｒ＝(n+r-1)C(r) (n<rでもよい） が基本です！ この重複組合せの運用の仕方を見ていきますと、 みかん、メロン、りんご ３種類の果物がたくさんあって、5個の果物を買うとき何通りの買い方があるか？ただし、含まれない果物があってもよいものとする。 というときに この公式のまま適用できます。 図のようなパターンの買い方が例として挙げられます。 図は、左から みかん、メロン、リンゴ のエリアで黒の縦線は仕切りです。 ちょっと見方を変えると、7つの席があり、仕切りの黒棒を置く席を２つ決めれば、３種類の果物の数も自動的に決まると言えます。 したがって、この場合の重複組合せは ７C2＝２１ 通り または、果物5個を置く席を決めれば自動的に仕切りの黒棒をおく位置が決まると考えて ７C5＝２１ 通り 公式にそのまま当てはめて、 3H5=7C5 通り となります。 さて(n+r-1)C(r-1)についてですが、これは公式ではないと思われます。 おそらく 特殊な条件が付け加えられた問題だから この式がでてきたのではないでしょうか？ 例えば、図の問題で、3種類の果物は各種類、最低1個はかうものにする という条件が付いた場合(n+r-1)C(r-1)になるのではないでしょうか？
お礼
早くにお返事いただきありがとうございました。 よく理解できました。なるほど最低どれか一個は買うものと するとなるととてもよく理解できました。 とても分かりやすい図も完璧で分かりやすかったです。 色々と何度も繰り返し勉強したいと思っています。 有難うございました。お礼まで。
関連するQ&A
- 重複組合せの問題に関する解説
こんにちは。 私が利用している公式集に、重複組合せに関する公式として、ｎHｒ＝ｎ+ｒ－１Ｃ1 という公式がありその解説として、以下の文章がありました。意味がよくわかりません。参考までに、どなたかわかれば解説をお願いします。（ちなみに、公式集であり、解説は不十分なものであると思っていますが、私の理解力不足かもしれません。） 解説全体（「使い方」も含めてが不明です。 ＜解説＞ ４個の数字１，２，３，４から重複を許して３個取り出す例を考えよう。 それが１，１，３なら、順に０，１，２を加えて１，２，５とすると、これは１，２，３，４，５，６の６個から３個選んで小さい順に並べたものである。 逆に、１，２，３，４，５，６の６個から３個選んで小さい順に並べたものから０，１，２を引くと、それは１，２，３、４の４個から重複を許して３個取った組合せとなる。以上より、求める数は6Ｃ3＝20となる。左下の添え数の6は、６＝４＋３－1と考えれば、４→ｎ、３→ｒとして公式が得られる。 使い方：ｎとｒには大小関係がない、相異なるものはｎ個だから、左下の添え数は、異なるものの数となる。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校1年 数A 場合の数と確率 【重複組合せ】
重複組合せとは何でしょうか？ 参考書には 『異なるｎ個のものから、重複を許してｒ個取る組み合わせの総数は n+r-₁Cr (Cはコンビネーション）』 って書いてあるのですが、言っている意味が分からなく、問題が解けません。 【１】候補者が3人で、投票者が8人いる無記名投票で、一人1票を投票するときの票の別れ方の総数を求めよ。ただし、候補者は投票できないとする。 ↑わかりません。 重複組み合わせの意味？と、上の問題の解き方、考え方を教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重複組合わせ
重複組合わせ ある本に次のような説明がありました。 一つの箱のなかに１からnまでの番号のついた球が入っているとする。この中から球を順にr個取り出すという場合。 取り出した番号は無視してそれらの番号の組を作る。 この場合、n＋r－１個からr個取り出す組合せに直す事ができる。 まず、取り出したr個のものa1,a2,…,arに対して、順序を区別しないのであるから、考えやすくするために、n個のものに対応する番号をつけ、取り出したa1,a2,…,arの番号は、a1≦a2≦…≦arであると仮定しても問題無い。そうすると、ここに、順に０，１，２、…、r－１を加え、 a1+0=b1 a2+1=b2 … ar+(r-1)=br を考えれば、b1<b2<…<brであって、しかも、b1,b2,…,brは１，２，３、…、n＋r－１のうちのいずれかである。このb1,b2,…,brの取り方は、取り出した順番に関係なく番号が大きい順に並べ直したものだから、n＋r－１個からr個取り出す組合せになる。 つまり、nこからr個重複して取り出す組み合わせを、n＋r－１こからr個取り出す組合せになおすことができた。 ・・・という説明があるのですが、イマイチよくわかりません゜(゜´Д｀゜)゜ どなたかもう少し噛み砕いてわかりやすく説明してくださいませんか？？ 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- excelで重複組合せの計算
重複組合わせの計算： 製品の種類(n) 443 製品の種類(n) 212 出荷数（r） 3530 出荷数（r） 1646 n+r-1 3972 n+r-1 1857 重複組合せn+r-1Cr #NUM! 重複組合せn+r-1Cr 9.5806E+283 ”=COMBIN(B4,B3) ”=COMBIN(E4,E3) 以上、同じexcelのCOMBIN関数で計算しましたが、一つは普通に計算できましたが、なんでか一つは#NUM!を返してきました。値が大きすぎのせいですか？どんな方法で解決できるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 場合の数：重複組合せの考え方はこれで良いですか？
『重複組み合わせ』と『同じものを含む順列』のどちらの 考え方でも解ける問題が場合の数や確率の反復試行などで ありますが、重複組合せについて確認をさせてください。 例題として。 区別の無い5個のボールを3人に分ける場合の数。 （ボールを一つももらえない人がいてもOK） ・同じものを含む順列で考えて ボール5個と仕切り2つで 7!/5!2!=21通り ・重複組合せでは ７つのスペースがあると考えてそこに、仕切りの2つを入れる場所を 決めると残りのスペースにボールが自動的に入り ＝ボール5個と仕切り2つの順列が決まる 7C2=21 という風に考えていました。 この考えで理屈としても問題はないと思うのでが 今日、初めて重複組合せの公式Hをみてちょっと混乱 してしまいました。 結局は私の考えていた流れと同じになるように理解できるので すが、問題はないでしょうか？ 抜けている考えがありそうでちょっと心配で質問をさせて いただきました。 この公式でも扱えるのは二種類のものという理解で大丈夫ですか？ 拙い文章で申し訳ありませんがご教授よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重複組合せ
重複組合せの問題がどうも理解できないのでお願いします。 問い: 一つのさいころを二回投げて出た目を順にa,bとする時a≧bとなるような目の出 方は何通りあるか。重複組合せの考え方で解け ---- これはどういう風に考えればいいのでしょう。 重複組合せは「○○○○○○と|」という具合に「○の数と頭数-1の仕切」で考えるんですよね。 題意に沿うようにaとbを表に整理すると、 a=1 b=1 a=2 b=1,2 a=3 b=1,2,3 a=4 b=1,2,3,4 a=5 b=1,2,3,4,5 a=6 b=1,2,3,4,5,6 このようになりますが、これを「○の数と頭数-1の仕切」やnHrの形で表すのに どのように考えて良いのか分かりません。 さいころの目は常にn≧1なので、さいころの目を六個のボールと考えて 「aさんが0個のボールを手にするとき、bさんは6個手にすることが出来る」 「aさんが1個のボールを手にするとき、bさんは5個手にすることが出来る」 ・・・ などというようには考えられないのですが・・・。 そもそも重複組合せの私の理解が間違っているのでしょうか。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重複組み合わせ？
次の問題で、途中から解き方がわかりません。どなたか、おしえてください。 問：1～999までの整数のうち、各位の数の和が7の倍数となる整数はいくつあるか。 自分が考えた解き方です。 ------------------------- 1～999までの整数nは n=100a＋10b+c (a,b,c=0,1,2…9 ;n≠0) とおける。 a+b+c=7,14,21 になればよいから、 ⅰ)a+b+c=7 のとき （ここで、重複組み合わせだと思い） 3Ｈ7=(3+7-1)Ｃ7=9Ｃ2=36 ⅱ)a+b+c=14のとき ⅲ)a+b+c=21のとき -------------------------- ⅰ)と同じやり方では ⅱ)ⅲ)のときはa,b,cが9より大きい場合の時も数えてしまうと思います。 ここから先はどのように解けばいいのでしょうか、また他の解法があれば教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重複順列nΠr≧順列nPr≧組合せnCr
にゃんこ先生といいます。 異なるn個の物からr個を取る。 この取るという動作には、重複を許すやり方と許さないやり方があります。 また、取った後の動作には、並べる方法と組合せにする方法があります。 全部で２＊２＝４つのバージョンが考えられます。 順列nPr=n!/(n-r)! 組合せnCr=n!/(n-r)!r! 重複順列nΠr=n^r 重複組合せnHr=n+r-1Cr=(n+r-1)!/(n-1)!r! ここで、一般に 重複順列nΠr≧順列nPr≧組合せnCr が成り立ちますが、nHrとの大小関係はどうなるのでしょうか？ 二変数関数としての場合分けが必要とは思うのですがよくわかりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 重複組合せH[n,r]の性質について
n 種のものから、重複 (repetition) を許して r 個のものを取り出す組合せというものを考えて、n から r とる重複組合せと呼び、その総数を H[n,r] と表す。 H[n,r]=C[n+r-1,r] ここまでは分かりますが、次の性質が分かりません。 どなたか説明をいただけないでしょうか? (1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r] = C[n+r+1,r] = H[n,r] となる。すなわち、 (1 + x + x^2 + x^3 + … )^n = H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + … また、 H[n,r]=(-1)^r C[-n,r] は多重集合係数あるいは負の二項係数とも呼ばれ、 (1-x)^(-n) = Σ[r=0,∞]H[n,r]x^r
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
はやくにお返事いただき本当にありがとうございました。 良かったです。本当に嬉しいです。前回もとても細かく 教えていただき、仕切りを学ぶことができました。 うっかりしていました。そうです。nとｒを間違えていました。 しっかりと覚えていませんでした。 公式にはめなくても前回教えていただきました 仕切りをとても勉強して理解していたのですが。 大変申し訳ありませんでした。 でも見ていて下さって本当に本当に嬉しかったです。 これで全て解決できそうです。 いつも的確なご指導に心から感謝しています。 有難うございました。お礼まで。