楕円の寸法に関する、関係式を 教えてください。

質問

お世話に　なります。

添付図の、ように
線分
AO、BO、DE、
が、有り、
楕円ELが、有る、
と、します。

楕円ELは、各々
点A'で、線分AOと、
点B'で、線分BOと、
点Cで、線分DEと、
正接している
と、します。

また、
∠AOBの、角度をθ、
点Oと、線分DEと、
の、距離を
L1、
楕円EL中心と、線分DEと、
の、距離を
L２、
楕円ELの
鉛直方向の、寸法を
L3、
と、します。

さて、
此所で、質問です。

各々、θ、L1、L2、
と、
L3との、関係式は
どの様に、なる
で、しょうか？

ご指南を
宜しく、お願いします。

P.S.
今回
図の、記載にあたり
Fusion360、無償使用ライセンスVersionを
使用させて、頂きました。

此の、Versionの
公開に、対し
AutoDesk社、関係諸氏に
感謝します。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

簡単にするため
O,C,楕円EL中心Eはx軸上にあり
O=(-L1-L2,0),C=(-L2,0),E=(0,0)
とする
楕円の方程式を
x^2/a^2+y^2/b^2=1…(1)
a=L2
b=L3/2
とする
楕円の接線の傾きをcとすると
c=tan(θ/2)
接線はO=(-L1-L2,0)を通るから
e=L1
d=c(e+a)
とすると
接線の式は
y=cx+d…(2)
となる
接点を(x,y)とすると(1),(2)から
x^2/a^2+(cx+d)^2/b^2=1
↓両辺にa^2b^2をかけると
b^2x^2+a^2(cx+d)^2=a^2b^2
↓両辺からa^2b^2を引くと
(c^2a^2+b^2)x^2+2cdxa^2+a^2(d^2-b^2)=0
接点は1つしかないから
このxの2次方程式は重根を持つから判別式=0だから
D/4=c^2d^2a^4-a^2(c^2a^2+b^2)(d^2-b^2)=0
↓両辺をa^2で割ると
c^2d^2a^2-(c^2a^2+b^2)(d^2-b^2)=0
(c^2a^2-d^2)b^2+b^4=0
↓両辺をb^2で割ると
c^2a^2-d^2+b^2=0
↓両辺にd^2-c^2a^2を加えると
b^2=d^2-c^2a^2
↓d=c(e+a)だから
b^2=c^2{(e+a)^2-a^2}
b^2=c^2{e(e+2a)}
↓b=L3/2,c=tan(θ/2),e=L1,a=L2だから
(L3/2)^2=L1(L1+2L2){tan(θ/2)}^2
↓両辺に4をかけると
(L3)^2=4L1(L1+2L2){tan(θ/2)}^2
↓両辺の√をとると
∴
L3=2tan(θ/2)√{L1(L1+2L2)}

お礼

有り難うございます。
お礼が、遅れ
済みません。

スルッと、理解出来るか
疑問ですが

少し
読み込んで、みます。

また
質問させて、ください。