正四面体の4番目の頂点の座標を求める問題の解法
- 正四面体の3つの頂点の座標が与えられ、第4の頂点の座標を求める問題です。
- 問題の解法は、与えられた連立方程式を解くことですが、問題の連立方程式には誤りがあります。
- 正しい解法は、正四面体の一辺の長さを求め、その値を用いて正しい連立方程式を立てることです。
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正四面体 第4の頂点
正四面体の3つの頂点の座標がA(2,-1,3) B(5,2,3) C(2,2,0)であるとき、第4の頂点Dの座標を求めよ。という問題で疑問がわきました。 Dの座標を(x,y,z)とする。 自分は、AD²=BD²=CD²より (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=(x-5)²+(y-2)²+(z-3)² から ｘ+ｙ＝4 (x-5)²+(y-2)²+(z-3)²=(x-2)²+(y-2)²+z² から ｘ+ｚ＝5 (x-2)²+(y-2)²+z²=(x-2)²+(y+1)²+(z-3)² から ｙ-ｚ＝-1 これらを連立方程式を解くようにしたら、0＝0となり、答えが求まりませんでした。 問題集では、 正四面体一辺の長さはAB＝|AB→| (ABベクトルを左のように書かせてもらいます。)|AB→|=√(5-2)²+{2-(-1)}²+(3-3)²=√18 ゆえにAD=BD=CD=√18 すなわち AD²=BD²=CD²=18より、ｘ+ｙ＝4とｘ+ｚ＝5を(x-2)²+(y+1)²+(z-3)²＝18に代入してｘの2次方程式 ｘ²-6ｘ+5＝0を解いて答えをだしています。 なぜ自分の使った連立方程式では解けないかを説明してください。お願いします。
- situmonn9876
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ANo.2 の蛇足ですが … 。 >その「連立方程式」は、「3 つの頂点」からの距離が等しい点という条件を意味し、無限個の解がある。 例解を。 z を任意値、x = 5-z, y = -1+z とし、(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2 = 18 に代入して、 z の 2 次方程式 3(z^2-4) = 0 を得、答えをだす。
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- 178-tall
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ANo.2 の蛇足ですが … 。 >その「連立方程式」は、「3 つの頂点」からの距離が等しい点という条件を意味し、無限個の解がある。 例解を。 z を任意値として、x = 5-z, y = -1+z
お礼
x+y=4を満たす、数の組み合わせは無限にありそうですね。具体例ありがとうございます。
- 178-tall
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>… なぜ自分の使った連立方程式では解けないかを説明してください。 その「連立方程式」は「3 つの頂点」からの距離が等しい点という条件を意味しており、無限個の解がある。 3 頂点のペア間の距離 |AB|^2 = |BC|^2 = |CA|^2 = 18 を与えれば、2 つの解が得られるのでしょう。
お礼
無限個の解があるとの説明、なんとなくイメージがつかめました。解けない理由もなんとなく、わかりました。ありがとうございます。
- f272
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(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=(x-5)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 (x-5)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2 この2つを使って (x-2)^2+(y-2)^2+z^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 を導けるのだから，結局のところ3つの式は独立ではなく実質的には2つの式しかありません。もう一つの式として (x-2)^2+(y-2)^2+z^2=(5-2)^2+(2+1)^2+(3-3)^2=18 を使えばすべて独立な式になりますから，うまく計算できるようになりますよ。
お礼
お返事ありがとうございます。
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