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外接円の半径って計算できますか？
円に内接する5角形があるとして、各辺の長さ、a,b,c,d,eが与えられたとき、外接円の半径は計算できますか？四角形や三角形なら中学レベルの問題ですが、5角形になった瞬間突然超難問になるような気がします。解けるのでしょうか。 というか解けることはわかっていて、連立二元二次方程式が出てきました。たとえば、長さa,eの辺をはさむ頂点から、長さb,cをはさむ頂点、長さc,dをはさむ頂点への対角線の長さをそれぞれx,yとして、x,yに関する連立方程式、 (cy+ab)x^2=(ay+bc)(by+ac) (cx+de)y^2=(ax+cd)(dx+ce) が得られました。無理やりyかxを消去してしまうことも不可能ではないですが、ものすごく高次の方程式になってしまいます。右辺が綺麗に因数分解できたように、何か方程式の対称性を損なわないうまい解法があるようにも思うのですが… アドバイスだけでも何かいただけると幸いです。
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はじめまして。 私は現在工学部に所属しているものです。 数学を専門にしている方にお聞きしたいことがあります。宜しくお願いします。 一般に三角形には必ず外接円が存在し、また四角形は向かい合った角度の和をπにすれば外接円はえられます。 三角形の外接円半径の値は (a*b*c)/sqrt{(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)｝ で求まり、四角形の外接円半径の値は (1/4)/sqrt[(ac+bd)*(ad+bc)*(ab+cd)/{(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)}] s=(1/2)*(a+b+c+d) で求まります。（以上wikipediaより参照） 次に五角形外接円半径に関して公式があるのかどうか調べましたところ、どうやら存在しないようなので、自力で計算して出せばよかろうと思い、実行してみました。 モデルとして各辺が1:√2:2:2√2:4でできている五角形の外接円半径を求めようとしました。（つまり辺が白銀比でできている五角形です。） この五角形を、一つの対角線で三角形と四角形に分割します。 三角形の辺の長さ及び比は（1:√2:x） 四角形の辺の長さ及び比は（2:2√2:4:x） 対角線の長さをxとしました。 これらを用いて外接円半径を各々求めた後、等号をだせば、xが求まり、半径も求まるであろうと推測したわけです。 結果を述べますと 外接円半径をrとして 三角形→ r^2=(2*x^2)/{(1+√2+x)*(-1+√2+x)*(1-√2+x)*(1+√2-x)｝ 四角形→r^2=｛16√2*(x+2√2)*(x+√2)*(x+4√2)｝/｛(6+2√2-x)*(6-2√2+x)*(2+2√2+x)*(-2+2√2+x)｝ となります。よって等号とって整理すると (2*x^2)*｛(6+2√2-x)*(6-2√2+x)*(2+2√2+x)*(-2+2√2+x)｝ ={(1+√2+x)*(-1+√2+x)*(1-√2+x)*(1+√2-x)｝*｛16√2*(x+2√2)*(x+√2)*(x+4√2)｝ となります。 この式をMaximaでexpandしたのち、gfactorやallrootsをしたのですが、値が出てこないか、数式が整理されて返ってくるばかりです。複素数の解すらでてきません。 →こんな感じ。allroots: expected a polynomial; found errexp1 -- an error. To debug this try: debugmode(true); 式を見れば分かるように七次方程式が出現してくるのですが、多項式の解の存在についてなにも知らないため、これ以上手が出ない状態となってしまいました。 直観としては、五角形を、一つの対角線を共有させて三角形と四角形に分割するという操作で、絶対的に外接円を持つ五角形が作れるのではないかと思っているのですが、それすらも自信が持てなくなってきました。 まとめますと ・先の等号ははたして解くことができるのか。 ・五角形（拡張すれば、それ以上の多角形）には外接円が存在するのか、存在するときはどのような条件か？（但し正多角形は除く） です。 宜しくお願いします。m(-_-)m
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