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漸化式の置き換え
次の条件によって定められる{An}の一般項をbnで置き換えを利用し求めよ (1)A1=10,An+1=2An+2^(n+2) [Bn=(An)/(2^n)] 問題と答えの画像 http://i.imgur.com/KeNUP5r.jpg この問題の解法がわからなかったので、教えてください。。。
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>次の条件によって定められる{An}の一般項をbnで置き換えを利用し求めよ >(1)A1=10,An+1=2An+2^(n+2) [Bn=(An)/(2^n)] … A(1) = 10 A(n+1) = 2A(n) + 2^(n+2) 下式両辺を 2^(n+1) で割ると、 B(n+1) = A(n+1)/2^(n+1) = A(n)/2^(n+1) + 2 = B(n) + 2 つまり、 B(n+1) = B(1) + 2n そして、 B(1) = A(1)/2 = 5 だとすると、 B(n) = 5 + 2*(n-1) = 2n + 3 つまり、 A(n) = B(n)*2^n = 2^n*(2n + 3)
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錯誤訂正だけ。 A(n+1) = 2A(n) + 2^(n+2) 下式両辺を 2^(n+1) で割ると、 B(n+1) = A(n+1)/2^(n+1) = A(n)/2^n + 2 = B(n) + 2
お礼
修正ありがとうございます
A[n+1]=2*A[n]+2^(n+2)....(*) などと、番号、係数を分けて記述してください。 (*) であるものとして考えます。 両辺を2^nで割ってB[n]=A[n]/(2^n) と置き換えることにより、 B[n+1]=B[n]+2、B[1]=A[1]/2=5. を得ます。{B[n]}は階差数列になっています。
お礼
回答ありがとうございます
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