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x+y=3 1/x+1/y=2である時 x^2+y^2の値と 1/x^2+1/y^2 y^2/x^2+x^2/y^2の値を教えて欲しいです。
- pipi06175612
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- asuncion
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あ～そうか。xyはもっと簡単に求まる。
- info222_
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x+y=3 ...(1) 1/x+1/y=2 ...(2) (2) (x+y)/(xy)=2 x+y=2xy (1) 3=2xy xy=3/2 ...(3) x^2+y^2=(x+y)^2 -2xy=3^2-3=6 1/x^2+1/y^2=(x^2+y^2)/(xy)^2=6/(3/2)^2=6*4/9=8/3 y^2/x^2+x^2/y^2=(y/x+x/y)^2 -2=((x^2+y^2)/xy)^2 -2=(6/(3/2))^2 -2=4^2 -2=14
- asuncion
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x + y = 3 ... (1) 1/x + 1/y = 2 ... (2) (1)より、(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 9 ... (3) (2)より、(1/x + 1/y)^2 = ((x + y)/(xy))^2 = (x + y)^2/(xy)^2 = 9/(xy)^2 = 4 (xy)^2 = 9/4, xy = ±(3/2) ... (4) (4)を(3)に代入 x^2 + 3 + y^2 = 9 or x^2 - 3 + y^2 = 9 ∴x^2 + y^2 = 6 or 12 (2)の変形の別バージョン (1/x + 1/y)^2 = 1/x^2 + 2/(xy) + 1/y^2 = 4 xy = ±(3/2)を代入 1/x^2 ± 4/3 + 1/y^2 = 4 ∴1/x^2 + 1/y^2 = 8/3, 16/3 (y/x + x/y)^2 = ((x^2 + y^2)/(xy))^2 ここで、x^2 + y^2 = 6, xy = ±(3/2)は既知であるから、 (y/x + x/y)^2 = 4^2 = 16
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