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中学受験算数 場合の数の問題
４桁のパスワードを設定します。各桁それぞれには０から９までの数字を一つずつ入れていくものとします。同じ数字を２回だけ使う入れ方は何通りありますか。 答えは、４５９０通りです。 私がやると４５９０になりません（ ; ; ）
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何も条件がない場合、４桁のパスワードの数は全部で１００００通りあります。 （０００１、０００２、０００３・・・９９９９と数えると９９９９通りあります。 忘れがちな ００００も含めて１００００通りとなります。） 同じ数字を４回使う入れ方は ００００ １１１１ ２２２２・・・９９９９ １０通り 同じ数字０を３回使う入れ方は ／１ ／２ ／３ ／４ ０－０－０－５ ・・・９通り ＼６ ＼７ ＼８ ＼９ ／１－０ ／２－０ ／３－０ ／４－０ ０－０－５－０ ・・・９通り ＼６－０ ＼７－０ ＼８－０ ＼９－０ ／１－０－０ ／２－０－０ ／３－０－０ ／４－０－０ ０－５－０－０ ・・・９通り ＼６－０－０ ＼７－０－０ ＼８－０－０ ＼９－０－０ １－０－０－０ ２－０－０－０ ３－０－０－０ ４－０－０－０ ５－０－０－０ ・・・９通り ６－０－０－０ ７－０－０－０ ９－０－０－０ 合計３６通りあります。 同じ三個の数字を１、２，３・・・９に代えても 同じ樹形図が書けますから 同じ数字を３回使う入れ方は ３６×１０＝３６０（通り） あります。 同じ数字は使わない場合は （大変ですが）樹形図をかけば５０４０通り （全体の数｛何も条件がない場合の数｝）＝（同じ数字を４回使う場合の数）＋（同じ数字を３回使う場合の数）＋（同じ数字を２回使う場合の数）＋（同じ数字は使わない場合の数）ですから １００００＝１０＋３６０＋（同じ数字を２回使う場合の数）＋５０４０ ＝（同じ数字を２回使う場合の数）＋５４１０ （同じ数字を２回使う場合の数）＝１００００－５４１０ ＝４５９０ ４５９０通りと求めることができました。 場合の数や確率の問題では、 （全体の数）＝（同じ数字を４回使う場合の数）＋（同じ数字を３回使う場合の数）＋（同じ数字を２回使う場合の数）＋（同じ数字は使わない場合の数）のような考え方をすると簡単になることがよくあります。 また、樹形図はすべて書くのは大変という場合 頭の中でイメージできるようになるといいですね。 樹形図を途中まで書いて規則性に気が付いたら後は計算して答を求めるようにすれば 樹形図を描く手間が省けます。 規則性に気が付ければ、同じ数字は使わない場合の数は １０×９×８×７で簡単に計算して求めることが液ます。
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ANo.1の別解です。 ・10種類の数字のうち同じ数字を2回ずつ2組使う場合（例えば0011のパターン） 0012のパターンの応用です。 10種類の数字のうち同じ数字を2回だけ1組使う1組の数字は、0から9までの10種類 同じ数字を2回だけ1組使う使い方は、ANo.1の6通り 例えば0を2回（2桁で）使い、他の2桁でも1と1、2と2のように同じ数字が揃うように考えると、この組合せは9通り 6通りの中で00とした場合と他の2桁で11とした場合、6通りの中で11とした場合と他の2桁で00とした場合は重複するので、これを、 6*10*9/2=270通り と考えることもできます。
お礼
ありがとうございました。
・10種類の数字のうち同じ数字を2回だけ1組使う場合（例えば0012のパターン） 同じ数字を2回だけ1組使う使い方は、次の6通り （右から1桁目としても左から1桁目としても同様） 1桁目と2桁目、1桁目と3桁目、1桁目と4桁目、2桁目と3桁目、2桁目と4桁目、3桁目と4桁目 残りの2桁のうち1桁には9通りの数字が入り、さらに残りの1桁には8通りの数字が入るので、 この場合には、6*10*9*8=4320通り ・10種類の数字のうち同じ数字を2回ずつ2組使う場合（例えば0011のパターン） 10種類の数字のうち2種類の数字の選び方は、0と1、0と2から最後8と9まで合計で、 9+8+・・・+2+1=45通り 4桁のうち2桁を選ぶ選び方は、上と同様に6通りになるので（1種類の数字が入る2桁が決まれば、他の種類の数字が入る2桁も必然的に決まるので）、 この場合には、45*6=270通り よって、答えは4320+270=4590通り
お礼
詳しい説明をありがとうございました。
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