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地球に開けた穴の中の質点の動き（自転あり）
cocksanの回答
- cocksan
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えと、#2のeatern27さんがほとんど答えを言ってます。 まず、最低条件として、 d^2x/dt^2＝-kx (k>0) が単振動を表してるのは分かるかな？ これが分かるなら、話は簡単です。 eatern27さんもおっしゃってるように、 万有引力は、重心の位置から半径rの中にある質量を 考えるので、地球の半径をR,質量Mとしたなら、 地表での質量mの物体が受ける万有引力は F=GmM/R^2=mg <g=GM/R^2> 地球の中心から半径rの点で受ける万有引力は F(r)＝GmM(r)/r^2 となる。 ここで、地球の密度ρはどこでも一定であるとすれば、 M(R)=M=ρ*(4πR^3)/3 ρ=3M/4πR^3 よって、 M(r)=ρ*(4πr^3)/3=Mr^3/R^3 結局、 F(r)=Gm/r^2*(Mr^3/R^)=GmMr/R^3=m*(r/R)*(GM/R^2) F(r)=m*(r/R)g=mg(r) <g(r)=(r/R)g> つまり、万有引力によって半径rの点で受ける加速度の 大きさはg(r)。 これで万有引力の方はおしまい。 次に遠心力の方 地球は地軸を中心に回転しているので、質点の位置は 地軸からの距離としなければならない。 よって、質点が地球から半径rの位置にいるとき、 地軸と質点との距離はrcosφ 質点の回転速度は、 質点が地軸から、半径rcosφの位置にあって 地球が角速度ωで回転しているのでV(r)=ωrcosφ よって、質点の受ける遠心力は、 m(V(r))^2/rcosφ=mrω^2cosφ この遠心力は地軸と垂直な向きに働くが、実際には 穴の方向にしか運動できないので、穴の方向の 成分のみが効く。よって、 F2(r)=(mrω^2cosφ)*cosφ F2(r)=mrω^2cos^2φ つまり、遠心力によって半径r、緯度φの点で受ける 加速度の大きさはrω^2cos^2φである。 これで、二つの加速度の大きさが分かったから、 後は向きを考えて足せばOK。 半径rのままで式を解こうとすると、質点が中心を 越えて反対側に言ったときにおかしくなるので、 地球の中心を原点に、質点を落とした側を正にして x軸を取ってやると、 運動方程式は md^2x/dt^2＝-m(x/R)g+mxω^2cos^2φ 両辺mで割って、右辺のxをくくりだすと、 d^2x/dt^2＝-(g/R-ω^2cos^2φ)x=-kx ここで、重力加速度g、地球の半径R、地球の角速度ω 波もちろん定数で、φは地球上で穴を掘る場所を一つ 決めれば、自動的に決まるのでkは定数。 地球上にいて、我々は時点の遠心力で吹っ飛ぶ ようなことはないので、もちろんk>0ｗ 結局 d^2x/dt^2＝-kx つまり最初にあげた式に帰着する。 よって単振動する。 どっかの大学入試の問題に自転のないver.が出てた気もしないではないが、どこだったか・・・
- noname#7175
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