数の大小関係とは何か？
- 数の大小関係について疑問があります。不等式が成り立つ理由や、数の並び順による大小関係の考え方を知りたいです。
- 整数の並び順による大小関係や、小数の大小関係の考え方について教えてください。
- 数の並び方と大小関係について理解したいです。例えば、数が異なる順番で並んでいる場合における大小関係について教えてください。
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数の大小関係
当たり前のことを聞くようなのですが、例えば３＜５や２＜１０の不等式が成り立つのは 「数がそのように（１０進法で）並んでるから」なのでしょうか？もしそうなら １，２，３，４・・・・と数が並んではおらず４，２，３、１・・・・というように 数が並んでいたのだとしたら（現実とは異なりますが）４＜３、２＜１というような 大小関係もありえたのでしょうか？ あと、整数の場合は１，２，３，４・・と数が並んでるから大小関係が３＜５や２＜１０と なるとして、例えば小数で１．５＜１．６となるのはどうしてなのでしょうか？ 言葉を言いかえるとすれば小数のどのような定義（定義という言葉がふさわしいかは わかりませんが）によって１．５＜１．６や２，７＜５，８となるのでしょうか？ 小学生の時に習ったのかもしれませんが覚えておりませんので上の２点を教えていただけると ありがたいです
- madao11
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１の次に大きい数を２、次に大きい数を３、次に大きい数を４…としたのです。仮に、４の次に大きい数を３、次に大きい数を３…としていたなら、４＜３、２＜１もあり得たでしょう。 小数においても、小数点以下一ケタ目の数字は初めの定義に基づき、小さいほうから１，２，３，４，５…の順番に並んでいる。仮に９，８，７，６，５の順に大きくなると定義していたら、1.6<1.5となったでしょう。 定義らしいものは、小さいものから１，２，３，４，５，６，７，８，９と並べた。更に、何もないことを表すものとして、０を置いた、ぐらいですね。 右手の人差し指だけと、人差し指と中指では、どちらが指の数が多いか。当然、後者ですね。前者の本数には、１という字(数字）を割り当て、後者は２とした。だから、１＜２だ。 小学生では習わないでしょうな。ある意味、こんな哲学的なことは。
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- asuncion
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>１．５＜１．６や２，７＜５，８となるのでしょうか？ 1.5と1.6の大小を比べたい。 整数部分はどちらも1なので、小数部で比べるしかない。 0.5と0.6とでは、0.6の方が大きい。 よって、全体として、1.5よりも1.6の方が大きい。 2.7と5.8の大小を比べたい。 今度は整数部分が異なっている。2と5では、5の方が大きい。 よって、小数部を比べるまでもなく、2.7よりも5.8の方が大きい。
- fjnobu
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普通一つあるのを１と云って二つあるのを２と云っています。それを一つあるのを４と云い二つあるのを2と云うと決められているなら、小さい方から４，２，３，１と並べて問題は有りません。単に数の名前に付け方だけの話です。
- nihonsumire
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お考えになっているのが順序を考慮した集合だとすれば、(1,2,3,4,5)と(4,2,3,1)とは要素の順序が異なる集合だと考えて良いと思います。 あなたがお考えの数が、順序を与えた自然数や整数なのか、そうでないのか混乱しているように思われます。 つまり、例えばmとnを正の整数とし、ある正の整数kについて、n=m+kが成り立てばnはmより大きい、またはmはnより小さいといい、n>mまたはm>nと書くと定義したものを周知として考えているか、そうでないかということです。
- shintaro-2
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>「数がそのように（１０進法で）並んでるから」なのでしょうか？もしそうなら １，２，３，４・・・・と数が並んではおらず４，２，３、１・・・・というように 数が並んでいたのだとしたら（現実とは異なりますが）４＜３、２＜１というような 大小関係もありえたのでしょうか？ その通りです。 >あと、整数の場合は１，２，３，４・・と数が並んでるから大小関係が３＜５や２＜１０と >なるとして、例えば小数で１．５＜１．６となるのはどうしてなのでしょうか？ 言葉を言いかえるとすれば小数のどのような定義（定義という言葉がふさわしいかは わかりませんが）によって１．５＜１．６や２，７＜５，８となるのでしょうか？ 小数点の位置づけがわからなくなったら 長さを考えると良いです。 17mmは、1.7cm 16mmは、1.5cmです。 16<17なので、1,6<1.7です。 1234567という大小関係を 1328576とか置き換えれば、 1.6＞1.7ということもあり得ます。 数学的には a≧bで、c>0であれば a×c≧b×c（等号が成立するのはa=bのときのみ） です。
2つの数（実数の範囲で可）を、aとbとしたときに、 a-b＜0であれば、a＜b a-b=0であれば、a=b 0＜a-bであれば、b＜a
数直線上で考えるとわかりやすいです。 右にいくほど大きな数になると定めて、数を並べます。その順番により数の大小を判断します。 いま使われている数の定義をあてはめると、小さい順に1,2,3,4,5,6,7,8,9…となります。数直線上に数を当てはめると二つの数の大小を簡単に判断できます。 1.5と1.6を数直線上に並べると1.5よりも1.6の方が右に位置します。よって1.5＜1.6となります。 負の数の大小を考えるときには数直線上で考えると簡単ですので試してみてください
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お礼
色々たくさんの貴重なご回答をいただいた中でも、あなたの ご回答が私が欲していたものに一番近いと感じました ベストアンサーにさせていただきます