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微分可能なのに導関数が不連続?
oodaikoの回答
- oodaiko
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それじゃ f(x)=x^2 sin (1/x) などいかがでしょうか。 |sin (1/x)|<1ですから f(0)=0となることはよろしいですね。 またx≠0なら通常の方法で微分可能ですね。すなわち f'(x)=2x sin (1/x) - cos (1/x) となります。 x=0の時は微分の定義に戻って f'(0) = lim_{x→0} ( f(x) - f(0))/ x = lim_{x→0} ( x^2 sin (1/x) )/ x = lim_{x→0} x sin (1/x)=0 となります。すなわちfはすべての点で微分可能です。 しかし lim_{x→0} f'(x)=lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x)) = lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x) で、最後の式の第1項は0ですが第2項は不確定なのでf'(x)は0で不連続です。 (f'(x)が0で連続であると言うのはlim_{x→0} f'(x)=f'(0)となるということでしたね。)
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> |sin (1/x)|<1ですから > f(0)=0となることはよろしいですね。 1/x自体x≠0でしか定義できないので f(x) = x^2 sin (1/x) (x≠0), f(0) = 0 と定義された関数と考えた方がいい気がしますが。 数学の世界ではいちいちそう言う七面倒くさい場合分けはしないんですか? 後は納得です。要は普通の関数じゃなく、ちみちみした所でぐちゃぐちゃした関数とか、 そういうまともじゃない関数じゃないとなかなかこれに当てはまる例はないという事ですね。