• ベストアンサー

微分可能なのに導関数が不連続?

shushouの回答

  • shushou
  • ベストアンサー率51% (16/31)
回答No.2

代表的で(数学科の人には)有名な例を。 f(x)=x^2 sin(1/x)  (xが0以外) f(0)=0 とします。 するとf(x)は微分可能ですが、 f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) は、x=0で連続ではなくなります。

関連するQ&A

  • いたる所微分可能で、導関数が連続でない関数は?

    ある開区間Iで微分可能な関数fでfの導関数がIで連続でないようなfはあるのでしょうか? 微積の教科書で、C(m)級関数の定義を言う時に、 「m回微分可能で、m次導関数が連続な関数」 という言い回しがあるのですが、 m回微分可能なのに、m次導関数が連続でないような例を発見できないので、 質問しました。

  • 関数の連続性と微分可能性

    以前お世話になりました、大学受験生です。 数学本の中に「明らか」としか述べられていない話があって、 もやもやしているので質問させていただきます。 その文章は以下のもので、 実数全体で連続な関数f(x)が原点を除いたところで何回でも微分可能 で(c^∞級と言うらしいです)、lim[x→0]f'(x)がある実数aに 収束しているならばf(x)は原点でも微分可能であって、 またf'(x)は実数全体で連続(つまりf'(0)=a)となっている。 です。 どう証明したらよいのでしょうか。恥ずかしながら見当がつかないのです。 それから勝手に自分で進めていることなのですが、 たとえば関数e^(-1/x^2)というのがあったとして、 原点以外でc^∞級であることを既知としていれば、原点でも 微分可能であるということになるのですか。 わかる方、長くなってもよいので詳しいご教授願います。 よろしくお願いいたします。

  • f(x)が連続であるとき、つぎの関数の微分をfを用

    f(x)が連続であるとき、つぎの関数の微分をfを用いて表せ。 (1)d/dx∮[x→2x]t*f(t^2)dt これの解き方を教えて下さい。合成関数の微分を用いると書いてますがどうするのかさっぱりです。よろしくお願いします。(解答は4x*f(4x^2)-x*f(x^2)です)

  • 関数の連続、微分、接線、積分

    関数の連続や微分可能な関数などについての理解があいまいなのですが、以下の文章に間違いがあったら指摘くださいますか? 左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能 x=aで微分可能ならx=aで連続。  微分可能で直線じゃないならその点においての接線がある。 微分不可能な点では接線は存在しない。 積分は連続している範囲でできる。 連続していない範囲では積分できない。 連続は(数学的じゃないですが)一筆書きでかけるようなのを連続という。数学的にはイプシロンデルタ論法をつかうと思いますが今は省略します。 f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。 たとえばf(x)=|x| はすべての実数において連続だがx=0で微分できない。 xが0にちかづくときプラスからでもマイナスからでもf(x)は0になりかつf(0)が0であるから連続 xが0に近づくときプラスからとマイナスからの接近による微分係数は順に1,-1なので、微分できない。微分できないのでx=0における接線は存在しない。 回答よろしくお願いします。

  • 関数f(x)の連続性について

    よろしくお願いします. たとえば, 関数f(x)が与えられたとします. その関数は,X=a点の,ある近傍において 連続微分可能(単純のためここでは1回微分可能)とします. よって, その近傍においては,元の関数f(x)の点でも連 df(X)/dxに関しても連続ですよね.ここまでは OKですか? 次に, この場合,この条件から, X=a点で,f(a)も連続であると言えるのですか? ちなみにa点では,連続微分可能ということは言っていません. しかし, 関数f(x)がaの近傍で定義されていて, lim{f(x)}=f(a) x→a ならば,f(x)は,x=aで連続である と通常の解析本での連続の定義はされているので, これを表記せねば,連続であるとは言えないのでしょうか? それとも,表記せずとも,導出されてしまうのでしょうか? イプシロンデルタの表記法はなじみがないので, できれば,使うのであれば初心者にも分かりやすいように,どうぞお願いいたします.

  • 多変数関数についてです。

    関数について、2つ質問があります。 (1)多変数関数が「滑らか」とはどういうことでしょうか? 1変数関数の場合は無限回微分可能なら滑らかだが、 多変数関数の場合はもっと条件があると言われました。 「無限階微分可能かつ、その導関数が連続」ということでしょうか? (2)Ω={(x*,x**)∈R^2}とします。このとき f(x)=x (x∈Ω) をxで微分する という時の表記は(d/dx)f(x)ではいけないそうです。 どのように表すのが正しいのでしょうか? 微積の本やネットを探しましたが、分かりやすい説明がありませんでした。 どなたかご回答、解説をよろしくお願い致します。

  • 微分可能なら連続?

    微分可能→連続。 次の二つの命題について正しければ証明し、 そうでなければ反例をあげよ 1 関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能ならば、f(x)は開区間(a,b)で連続である 2 関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能ならば、その導関数f'(x)は開区間(a,b)で連続である。 答えは1は正しく、 2は間違いで反例はf(x)=x^2sin(1/x)を使ってみよとの事でした。 すみません1,2の証明をお願いできませんか? 詳しくおねがいします

  • 微分可能ならば連続??

    微分可能→連続。 次の二つの命題について正しければ証明し、 そうでなければ反例をあげよ 1 関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能ならば、f(x)は開区間(a,b)で連続である 2 関数f(x)が開区間(a,b)で微分可能ならば、その導関数f'(x)は開区間(a,b)で連続である。 答えは1は正しく、 2は間違いで反例はf(x)=x^2sin(1/x)を使ってみよとの事でした。 すみません1,2の証明をお願いできませんか?

  • 全微分可能なら…

    一変数関数f(x)について、全微分可能なとき、 f’(x)は連続と言えるのでしょうか? f(x)が全微分可能なとき、f(x+dx)-f(x)=f’(x)dxが成り立つから、 lim[h→0]f’(x+h)dx=lim[h→0]f(x+dx+h)-f(x+h)= =f(x+dx)-f(x) (←y=f(x)は微分可能なので連続だから) =f’(x)dx となって、f’(x)が連続ということになってしまうんですが、 そんなこと聞いたことがないので、たぶん、 僕の証明がおかしいのだと思うのですが、 僕の証明のどこが間違っているのでしょうか?

  • 汎関数微分について

    汎関数微分について I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)] の微分について I[f+μ]-I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)]{exp[∫dx μ(x)φ(x)]-1} までいって途方にくれています.どうかお助けください.よろしくお願いします.