- ベストアンサー
[解析力学] 間違いを教えてください 2
解析力学を勉強中です。 正準変換のところで、母関数 W というのが出てきます。 教科書によると、 ・Wから正準変換の変換式を求めることができる ・Wの条件は全微分可能であること とのことです。 すると例えば 母関数 W＝C(定数) も全微分可能なので母関数の条件を満たすかと思いますが、このとき P＝Q＝0 になってしまうと思います。 だとすると正準変換の前後で面積が保存されなくなってしまいます。 どこか勘違いしていると思うのですが、自分では見つけられていません。 わかる方、ご指摘いただけると幸いです。 よろしくお願い致します。
- supertat
- お礼率99% (144/145)
- 物理学
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#1さんへの補足です。 全微分可能な「関数」とは、この前のイメージで言えばとりあえず、「拘束条件」のつかない自由な（？．←こんな数学用語はないですが）関数の事です。 一変数でも良いのですが物理では、f(x)＝1は関数と言わない（関数関係がない）という伝統（？）があります。普通f(x)＝1は、xに関する「方程式」です（定数関数ってのがありますけどね(^^;)）。 もっと一般に(p，q)を一般化運動量と一般化座標として、f(p，q)＝Cであれば自由ではない訳です。pとqを独立に変化させる事ができなくなりますから。 仮想仕事の事を御存じだったので、ハミルトン方程式もpとqに関して独立な変分を取って、導きませんでしたか？。拘束条件のあるラグラジアンやハミルトニアンの解法の一般的な処方箋もあるのですけど、かなり難しいので、最初はやはりpとqは独立とする話が普通だと思います。 「全微分可能」の意は、 W＝Atan(p，q) のように多価関数になって、積分可能条件が成り立たないものは駄目よ、という意味です。#1さんの仰るように逆が不可だからです。ここでAtanは、アークタンジェントです。
その他の回答 (1)
- trytobe
- ベストアンサー率36% (3457/9591)
『・Wから正準変換の変換式を求めることができる』 は、「正準変換して、逆変換で戻せる可逆性がある」という意味です。つまり、自由度（運動量を表現する変数の数とも言えますが）を減らす W＝定数 というものは、母関数としての２条件の下のほうしか満たしていないのです。 そんな自由度を減らす変換をしてしまうと、当然ながら『正準変換の前後で面積が保存されなくなってしまいます』。
お礼
早速のご回答ありがとうございました！ W＝定数は条件外なんですね。
関連するQ&A
- 【解析力学】1次元調和振動子のエネルギー
以下の問題「解析力学」の試験で出ました。解き直しをしているのですが、導出過程と解答が分かりません。 お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。お願いします。 ********************************** 母関数 W(q,Q) = aq^2cot(bQ) によって正準変数q,pから新しい正準変数Q,Pに正準変換したとき、新しい正準運動量Pが1次元調和振動子のエネルギー（Hamiltonian） H = p^2/2m + mω^2q^2/2 となるように、パラメーターa,bの値を定めよ。また、正準変数Qの物理的意味を述べよ。
- ベストアンサー
- 物理学
- ランダウ力学、慣性の法則
こんばんは。 今、解析力学を勉強するためにランダウ＝リフシッツの力学を読んでいて、悩んでも分からないところがあります。 超序盤なのですが、６ページのラグランジアンから慣性の法則を導きだすところで、 ∂L/∂v = const. かつ ∂L/∂v は速度だけの関数であるから v = const. と展開されています。(vは本文ではボールドでベクトルです) が、それが何故なのか分かりません。 速度だけの関数で、偏微分して定数なら、Lがvの一次の関数である。と結論付けられる気がするのですが、vが定数となるとは、謎です。 気づけば当たり前で簡単なことかもしれませんが、全然わかりません。 どなたかご教授お願いいたします！
- ベストアンサー
- 物理学
- 解析力学の問題です。
以下の問題の解答が省略されていて困っています。 お手数をおかけしますが、模範解答をお願いできないでしょうか。 よろしくお願いします。 ********************************** 母関数 W(q,Q) = aq^2cot(bQ) によって正準変数q,pから新しい正準変数Q,Pに正準変換したとき、新しい正準運動量Pが1次元調和振動子のエネルギー（Hamiltonian） H = p^2/2m + mω^2q^2/2 となるように、パラメーターa,bの値を定めよ。また、正準変数Qの物理的意味を述べよ。
- ベストアンサー
- 物理学
- 解析力学に関する質問
解析力学でわからないところがあります．下記の中で，(2)式から(3)式への導出過程を教えてください．(2)式の左辺は，ベクトルかけるベクトルなので(3)式の左辺はスカラーになるのはわかるのですが，なぜ”仕事”では無くFsという”力”なのでしょうか？ それとも，(2)式の両辺に1/∂s(sはスカラー)をかけたものが(3)式なのでしょうか？その場合，なぜ(2)式のFとsはベクトルで(3)式のFsとsはスカラーなのでしょうか？ ----------------------------------------------- 仕事Wが質点がとる物理的な経路に依存しないための必要でかつ十分な条件は，Fがある位置のスカラー関数の勾配で与えられることである． F＝－∇V （１） （ただし，Fはベクトル） このようなVが存在するということは次の議論から直感的に分かるであろう．もしW１２が端点１と２を結ぶ積分経路に無関係なら，W12を２端点の位置のみに依存する量の変化によってあらわせるはずである．この量をーVと書いても良いから，無限小の長さの経路に対して， F・ds=ーdV （２） （ただし，F，sはベクトル） すなわち， Fs=ー（∂V/∂s） （３） （ただし，Fsはスカラー，sもスカラー） が成立する．これは（１）式と等価である． ----------------------------------------- よろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 物理学
- 複素解析の問題を解いてみたのですが自信がないです。
複素解析の問題を解いてみたのですが自信がないです。添削をお願いします！ 問題: 一次分数変換w=(z+1)/(z-1)によって複素数の領域D={z| |z|<1}及びE={z| Re z>0}がどのような領域にうつされるかを求めよ 解答: Dにおいてz→1のときw→∞、z→-1のときw→0なのでうつされる領域D'はD'={w| w>0} Eにおいてz=αとする(αは正の実数) 0<α<1のときw<0、α>1のときw>0 よってうつされる領域E'はE'={w| |w|>0}
- 締切済み
- 数学・算数
- 解析力学でqi、piを独立変数とするのは無限小変換と関係がある？
解析力学でqi、piを独立変数と考えて理論を展開していますが、実際の運動ではｑの変化とｐの変化は無関係ではありえません。では何故解析力学では独立変数のように取り扱うのでしょうか。どうも仮想変位を理論の根底に据えているからでしょうか。。。確かに無限小正準変換の連鎖で有限の正準変換が実現できますが、この無限小変換ではｑとｐを独立して変化させるというあたりからくるのでしょうか。 どうも上手く表現できなくてすみません。どなたかこのあたりの事情に詳しい方の解答をお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 正準変換から母関数の導出
下式で表される(q,p)→(Q,P)の正準変換 Q=qcos(ωt)+psin(ωt) P=pcos(ωt)-psin(ωt) （ただし、ωは定数。） における母関数Wを求めよ。 という問題で、母関数はW(q,P,t)かW(p,Q,t)の どちらかだと思うのですが、 W(q,P,t)→p=∂W/∂q, Q=∂W/∂P W(p,Q,t)→P=-∂W/∂Q，q=-∂W/∂p に代入してもWが定まりません。 なにか他の解法があるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 解析力学でいろいろわからずに困っていますので、お知恵を拝借できれば助か
解析力学でいろいろわからずに困っていますので、お知恵を拝借できれば助かります。 1) x と q の座標変換で ∂(dx(j)/dt)/∂q(i) = d(∂x(j)/∂q(i))/dt という式があり、全微分などで変換過程はおえるのですが、意味のコンセプトが把握できません。dx(i)/dt というのはx座標系における速度でq座標系と関係ないので、常にq で偏微分してもゼロになるかと思ってしまうのですが、左辺の物理的な意味はどう解釈すればいいのでしょうか？右辺の形からxとqの座標の変換関係が時間の関数であるというのはわかるのですが、それ以上、思考が進みません。 2) 一般化運動量が p(i)=∂T/∂(dq(i)/dt)で定義されるのは、定義として受け入れるとして、通常の直交座標で p(x)= ∂T/∂(dx/dt)が T=1/2 (m (dx/dt)^2) と p(x)= m(dx/dt) から成立するのも当然わかるのですが、p(x)= ∂T/∂(dx/dt)と表記することの物理的な意味合いは直感的にどう理解すればいいでしょうか？エネルギーを速度で偏微分すると運動量がでるということだと、思いますが。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 力学 ２階微分運動方程式
こんにちは＾＾ 今力学の勉強をしているのですが、 ｍ（d^2x/dt^2)＝－ｋｘ＾３ （ｋは正の定数） を解かなければならない問題につまづいています。どのようにしてこの微分方程式を解いてｖ＝dx/dt、ｘを求めればよいのかわかりません。 ヒントなどでも良いので回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
早速のご回答ありがとうございました！ > 物理では、f(x)＝1は関数と言わない（関数関係がない）という伝統（？）があります。 ですっきりしました(^^) > 拘束条件のあるラグラジアンやハミルトニアンの解法の一般的な処方箋もあるのですけど、かなり難しいので、最初はやはりpとqは独立とする話が普通だと思います。 も勉強になりました。