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積分について
d/dx{∫[0→x]f(x,y)dy}=f(x,x)+∫[0→x]{∂/∂x(f(x))}dy と習いましたが、なぜ右辺のようになるのか教えてください。 色々と調べてみて、合成関数の微分を使うとのことでしたがサッパリです。 どなたかご存知の方、宜しくお願いします。
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f(x,y)のyによる不定積分を F(x,y)=∫f(x,y)dy とすると ∫[0→x]f(x,y)dy=F(x,x)-F(x,0) (∂/∂y)F(x,y)=f(x,y) (∂/∂y)F(x,x)=f(x,x) (d/dx)F(x,0)=(∂/∂x)F(x,0) (d/dx)F(x,x)=(∂/∂x)F(x,x)+(∂/∂y)F(x,x) (∂/∂x)∫[0→x]f(x,y)dy=∫[0→x](∂/∂x)f(x,y)dy だから (d/dx){∫[0→x]f(x,y)dy} =(d/dx)F(x,x)-(d/dx)F(x,0) =(∂/∂x)F(x,x)+(∂/∂y)F(x,x)-(∂/∂x)F(x,0) =(∂/∂x)F(x,x)+f(x,x)-(∂/∂x)F(x,0) =f(x,x)+(∂/∂x){F(x,x)-F(x,0)} =f(x,x)+(∂/∂x)∫_{0～x}f(x,y)dy =f(x,x)+∫[0→x](∂/∂x)f(x,y)dy
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