極値をもつようなaの範囲
- 0<x<πで定義された関数 y=(a+cosx)/sinxが極値をもつようなaの範囲を定めよ。
- a=0の時、y'<0となり極値は存在しない。aは0以外。
- a>1のとき、 0<x<αの範囲でy'はマイナス、α<x<πの範囲ではy'はプラス。a<-1のとき、0<x<αの範囲でy'はプラス、α<x<πの範囲ではy'はマイナス。
- ベストアンサー
極値をもつようなaの範囲
0<x<πで定義された関数 y=(a+cosx)/sinxが極値をもつようなaの範囲を定めよ。 という問題がわかりません。 y'= - (acosx+1)/sin^2x a=0の時、y'<0となり極値は存在しない。aは0以外。 y'=0 とすると、cosx=-1/a・・・(1) 0<x<π のとき|cosx|<1であるから、(1)の解が存在する条件は、 |-1/a|<1 ゆえに |a|>1したがって、a<-1 ,a>1 このとき(1)を満たす解を、α(0<α<π)としてyの増減表を作ると、 ここからがわかりません。 a>1のとき、 0<x<αの範囲でy'はマイナス、α<x<πの範囲ではy'はプラス a<-1のとき、0<x<αの範囲でy'はプラス、α<x<πの範囲ではy'はマイナス となっています。 (1)にa=2,やa=-2を代入して、cosx=1/3をy'に代入してもわかりません。 解説をお願いします。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
0<x<π の範囲で、 y'=-(acosx+1)/sin^2x において、 分母の sin^2x は常に正だから、 分子の acosx+1 の符号がわかればよい。 書き方がおかしいかもしれませんが・・・、 a>1 のとき ~~~~~ x の値が 0 から α まで変化するとき、 acosx+1 の値は a+1(>2) から 0 に変化するから、 acosx+1 は「+」 よって、 0<x<αの範囲でy'は「-」 《 (1)を満たす解を、α(0<α<π)とすると cosα=-(1/a)<0 これから、 π/2<α<π なので、 x=π/3, π/2 などを acosx+1 に代入すると、 a/2+1, 1 となり、「+」です。 》 x の値が α から π まで変化するとき、 acosx+1 の値は 0 から -a+1(<0) に変化するから、 acosx+1 は「-」 よって、 0<x<αの範囲でy'は「+」 a<-1 のとき ~~~~~~ x の値が 0 から α まで変化するとき、 acosx+1 の値は a+1(<0) から 0 に変化するから、 acosx+1 は「-」 よって、 0<x<αの範囲でy'は「+」 x の値が α から π まで変化するとき、 acosx+1 の値は 0 から -a+1(>0) に変化するから、 acosx+1 は「+」 よって、 0<x<αの範囲でy'は「-」 《 (1)を満たす解を、α(0<α<π)とすると cosα=-(1/a)>0 これから、 0<α<π/2 なので、 x=π/2, 2π/3 などを acosx+1 に代入すると、 1, -(a/2)+1 となり、「+」です。 》
その他の回答 (1)
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
0<x<πでsinx>0, -1<cosx<1なので cosx=tとおくと sinx=√(1-t^2) -1<t<1, y=(a+t)/(1-t^2)^(1/2)=f(t) f '(t)=1/(1-t^2)^(1/2)+(-1/2)(-2t)(a+t)/(1-t^2)^(3/2) ={(1-t^2)}+t(a+t)/(1-t^2)^(3/2) ={at+1}/(1-t^2)^(3/2) (1-t^2)^(3/2)>0 a=0とすると f '(t)=1/(1-t^2)^(3/2)>0 なので単調増加ゆえ極値をもたない。 a≠0とする。 a>0のとき t<-1/aで f '(t)<0, t>-1/aで f'(t)>0 なので -1<t<1より -1<-1/a<0 なので極小値を持つ条件は a>1 、極小値は f(-1/a)。 a<0のとき t<-1/a でf '(t)>0, t>-1/aで f'(t)<0 なので -1<t<1より 0<-1/a<1 なので極大値を持つ条件は a<-1 、極大値は f(-1/a)。 以上から y=f(t)が極値を持つようなaの範囲は (答) |a|>1 または (a<-1, a>1)
お礼
お返事ありがとうございます。
関連するQ&A
- 極値を求める
お世話になります。大学受験問題です。 問題は、f(x)=(a+cox)/sinx(0<x<π)が極値をもつように、定数aの値の範囲を定め、そのときの極値を求めよ。 です。 解答は、f'(x)=-(acosx+1)/s(sinx)^2 極値をもつためには、acosx+1=0が0<x<πで解をもてがよい、よって、-1<cosx<1より・・・A a<-1, 1<aです。・・・B Aまではわかります。が、Aから次の行Bへはどうやったのでしょうか。 0<x<πからacosx+1の形をつくろうかとも試みましたが、だめでした。 また他にaの範囲を求める解法はありますか? どなたか以上二点についてアドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つa範囲
y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つのはaの値の範囲がどのような時か? 解いてみると y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つ条件は,2次関数y’=3x^2+2ax+1の符号が変わる実数xがあることが条件ですから,D>0です D/4=a^2-3>0 で a<-√3, √3>aになります ここで質問なのですが,y’=3x^2+2ax+1の符号が変わる実数xとありますが、なぜ実数なのですか? 異なる2つの虚数解ではダメな理由はなんでしょうか まあy=ax^2+bx+cの頂点が(-b/2a,-D/4a)よりD<0だからy座標-D/4aがx軸と交点を持たないのは明らかだからD<0ではだめなのは分かります。 しかしax^2+bx+c=0となる異なる2つの虚数解はあるわけで,この虚数解は符号が変わる虚数xにはならないのでしょうか? すいませんが今の高校では複素数,虚数,共役複素数は習いますが、複素数平面などは習わないので虚軸とかも全くわかりません 虚数というのも 教科書にはb≠0である複素数a+biを;虚数という と書いてるくらいなのでよく分からないです 一応wikiとかで調べましたが
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の極値の問題なんですけど、わかりません
定数aは1より大きいものとし,関数f(x)=x/(cosx-a) (0<x<2π)は極値をもつとする。 aの値の範囲を求めよ。 の問題で f(x)'=cosx-a+xsinx/(cosx-a)^2 で分母は+なので g(x)=cosx-axsinxとおくと g(x)'=xcosx g(x)'=0となるのは x=0,π/2 3π/2 g(0)=g(2π)=1-a g(π/2)=π/2-a g(3π/2)=-3π/2-a 0<x<π/2のとき、g'(x)>0 π/2<x<3π/2のとき、g'(x)<0 3π/2<x<2πのとき、g'(x)>0 よってa>1 より 1<a<3π/2としたのですが、答えを見たら1<a<π/2となっていました 増減が変わるのは、π/2<x<3π/2のときなのにどうしてπ/2になるのですか?
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
お返事ありがとうございます。