大学の数学の問題です。

質問

ベクトル場　ベクトルA(ベクトルr)＝x^2 ベクトル i + y ベクトル j + xyz ベクトル k について，次の曲線Cに沿う原点 (0，0，0) から (1，2，3) までの線積分Ｉを求めよ。
C：ベクトル r = t ベクトル i + 2t ベクトル j + 3t ベクトル k　(0≦t≦1)
Ｉ：∫_C ベクトルA・ベクトルdr

答えが 41／6 になるみたいです。途中式がわからないので、わかる方、教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

A(r)=x^2*i+y*j+xyz*k
C:r=t*i+2t*j+3t*k,(0≦t≦1)
I:∫_{C}Adr

Cに沿って
x=t
y=2t
z=3t
dx=dt
dy=2dt
dz=3dt
x^2=t^2
xyz=6t^3
x^2dx=t^2dt
ydy=2t*2dt=4tdt
xyzdz=6t^3*3dt=18t^3dt
だから
∫_{C}Adr
=∫_{C}(x^2dx+ydy+xyzdz)
=∫_{0～1}(t^2+4t+18t^3)dt
=[t^3/3+2t^2+9t^4/2]_{0～1}
=1/3+2+9/2
=2/6+12/6+27/6
=41/6

お礼

わかりました！ありがとうございます！

回答No.3

f272

r=(t,2t,3t)だからdr/dt=(1,2,3)
またA=(x^2,y,xyz)=(t^2,2t,6t^3)だから
I=∫_C A・dr
=∫[t=0 to 1]A・(dr/dt) dt
=∫[t=0 to 1](1*t^2+2*2t+3*6t^3) dt
=∫[t=0 to 1](18t^3+t^2+4t) dt
=(9/2)+(1/3)+2
=(27+2+12)/6
=41/6

お礼

わかりました！ありがとうございます！

回答No.2

info222_

べr=(x,y,z)=(t, 2t, 3t),
べdr=(dx, dy, dz)=(dt, 2dt, 3dt),
べA=(x^2, y, xyz)=(t^2,2t, 6t^3)
Ｉ= ∫_C ベA・ベdr
= ∫ [0,1] ((t^2) dt+(2t) 2dt+(6t^3) 3dt)
= ∫ [0,1] (t^2+4t+18t^3) dt
= [t^3/3+2t^2+9t^4/2] [0,1]
=1/3+2+9/2
=41/6 ... (答)

お礼

わかりました！ありがとうございます！