- ベストアンサー
1階線微分方程式
1階線微分方程式 y'+2xy=2xを解く。 という問題がるのですが、その後の解き方がわかりません。 ∫2xdx=x²+C だから、答えは y=-1+ce^x² とあるのですが、わかる方解説お願いします。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- sugakujyuku
- ベストアンサー率37% (6/16)
関連するQ&A
- 1階線形微分方程式
y’-2y/x = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。 ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 この問題なのですが1階線形になることは示せたのですが、その次の1階線形微分方程式の解法がよく分かりません。 教えてください。よろしくお願いします。 ↓ y'-2y/x=xy^3 y'/y^3-2/xy^2=x u=1/y^2とおく ∴u'=-2y'/y^3 これを上式に代入すると -u'/2-2u/x=x ⇔u'+4u/x=-2x
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式
微分方程式は問題を解くやり方が異なると答えも若干ことなるのでしょうか? たとえば x^2*y'+y^2=0・・(1) y'=-y^2/x^2 z=y^2/x^2 ・ ・ としていけば y=cx/(x-c) となりますが (1)から dy/y^2=-dx/x^2 ・ ・ y=cx/(x-c) また(1)から完全微分方程式とみなして x^2y+xy^2=c としてもいいのでしょうか? もうひとつ (x+1)y'=x+2y+3 という問いは y’-2y/(x+1)=(x+3)/(x+1) として一階線形微分方程式のように解くと y=(1/(x+1)^2)(x^4/4+3x^2/2+x+log(x+2)+c) とならないでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベルヌーイの微分方程式
ベルヌーイの微分方程式についてですが y'+y=2xy^3 をu=1/y^2と置いて解いていっても答えと合いません。分かる方いましたら、教えて下さい。 答えは y^2=1/(Ce^(2x)+2x+1)となっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1階の線形微分方程式
1階の線形微分方程式 次の微分方程式の解き方が分かりません。いちおう、自分でもやりましたが、答えを先生が教えてくれないので困っています。さらに(3)はさっぱりです。 (1)y'+2y=6e^x (2)y'+y=sinx (3)xy'-2y=x^3e^x (1),(2)の自分なりで解いてみた答え (1) λ+2=0 λ= -2 よってこの微分方程式の一般解は y1=Ce^-2x ここで、yp=k1*e^x とおいて、ypを微分方程式内に代入をすると、 yp'+2yp=k1*e^x+2k1*e^x=3k1*e^x=6e^x k1=2 y2=2e^x よって y=y1+y2=C*e^-2x+2e^x (2) λ+1=0 λ= -1 よって、求める一般解は y1=Ce^-x ここで、特殊解を考えると yp=L*sinx+M*cosx yp'=L*cosx-M*sinx これを微分方程式に代入して yp'+yp=(L*sinx+M*cosx)+(L*cosx-M*sinx)=(L-M)sinx+(L+M)cosx ここで、 L-M=1 L+M=0 これを解いて L=1/2,M=-1/2 y2=1/2*sinx-1/2*cosx よって、y=y1+y2=Ce^-x+1/2*sinx-1/2*cosx
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
詳しく解説していただき、ありがとうございました。