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ベルヌーイの微分方程式
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質問に書いてある答えは正しいようです. 計算の流れを書いておきますので参考にして下さい. 与えられたベルヌーイ形の微分方程式 y'+y=2xy^3 に対して, u=1/y^2 と置き,両辺を x で微分して整理すると, u'=-2yy'/y^4 u'=-2y'/y^3 もとの微分方程式を変形して,これを入れると, y'/y^3+1/y^2=2x -(1/2)u'+u=2x -u'+2u=4x u'-2u+4x=0 となります.これは1階線形常微分方程式なので, その一般解は次のようになります.(これは公式です.) なお,exp(*) は指数関数で e^(*) のことです. ――――――――――――――――――――― 1階線形常微分方程式 dy/dx + p(x)y + q(x) = 0. 一般解は y={exp(-∫p(x)dx)}[c-∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx], c は積分定数. ――――――――――――――――――――― ここで, p(x)=-2, q(x)=4x なので,上の一般解を計算してゆくと, u={exp(2∫dx)}[c-∫{4x・exp(∫-2 dx)} dx] u={exp(2x)}[c-4∫{x・exp(-2x)} dx] u={exp(2x)}[c-4∫{x・exp(-2x)}dx] ここで,∫{x・exp(-2x)}dx だけ計算しておくと, ∫{x・exp(-2x)}dx=x・∫exp(-2x)dx-∫∫{exp(-2x)} dx dx =(-1/2)・x・exp(-2x)-∫{(-1/2)・exp(-2x)} dx =(-1/2)・x・exp(-2x)+(1/2)∫{exp(-2x)} dx =(-1/2)・x・exp(-2x)+(1/2)(-1/2)・exp(-2x) =(-1/2)・x・exp(-2x)-(1/4)・exp(-2x) =(-1/2)・exp(-2x)・{x+(1/2)} です.これを使って,u は, u={exp(2x)}[c-4{(-1/2)・exp(-2x)・{x+(1/2)}}] u={exp(2x)}[c+2{exp(-2x)・{x+(1/2)}}] u=c{exp(2x)}+2{exp(-2x)・{x+(1/2)}}{exp(2x)} u=c{exp(2x)}+2{x+(1/2)} u=c{exp(2x)}+2x+1 となります.この u を,u=1/y^2 に入れると, c{exp(2x)}+2x+1=1/y^2 y^2=1/[c{exp(2x)}+2x+1] となり,質問に書いてある, >> y^2=1/(Ce^(2x)+2x+1)となっています。 と一致します.
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お礼
よく分かりました。 詳しい説明ありがとうございました。