指数関数の最小値を求める問題について

質問

学校で期末テストで数学IIのテストがありました。そこでわからなかった問題があったので質問させていただきます。
問　y=4^x+4^-x -5(2^x+2^-x)+6 について
(1)t=2^x+2^-xとおくとき、tのとりうる範囲を求めよ
(2)yをtの式で表せ
(3)yの最小値とそのときのxの値を求めよ
このタイプの問題は初めてで解き方がよくわからなかったのでもしよろしければ回答をお願いします。

回答No.3

MSZ006 · ベストアンサー

ところどころ端折ってますが、

(1) 2^x >0,2^-x>0なので、
相加相乗平均より
　((2^x)+(2^-x)) ≧2√((2^x)(2^-x))
∴　t≧2

(2) y=(t^2-2)-5t+6
y=t^2-5t+4

(3) y=(t-5/2)^2-25/4+4
y=(t-5/2)^2-9/4
tの変域 t≧2なので、
t=5/2のときyの最小値-9/4
　　2^x+2^-x = 5/2
2^x=sとおくと、(s>0)
　　s+1/s=5/2
両辺にsを掛けて
　　s^2+1=5/2s
整理すると
2s^2-5s+2=0
(2s-1)(s-2)=0
s=1/2,2 （いずれもs>0を満たしている）
　　2^x=1/2,2
x = ±1

お礼

回答ありがとうございます　先の回答者様の方針で解いては見たのですが最後のxを求める方法が分からず困っていました。2^xを文字で置き換えて全体に2^xをかけるということがポイントなのですね。　分かりやすく回答してくださりありがとうございました。

回答No.2

bran111

問　y=4^x+4^-x -5(2^x+2^-x)+6 について

(1)t=2^x+2^(-x)とおくとき、tのとりうる範囲を求めよ

t^2=4^x+4^(-x)+2

が見えるか否かで勝負は決まります。そうすると

y=t^2-2-5t+6

これで全部が見える。

相加平均相乗平均の関係より

t≧2√(2^x・2^(-x)=2　　　　　　　　　　　　(1)

=は2^x=2^(-x)のとき、すなわちx=0　　　　　(2)

(1)、(2)が答え

(2)yをtの式で表せ

y=t^2-2-5t+6=t^2-5t+4

(3)yの最小値とそのときのxの値を求めよ

y=(t-5/2)^2+4-25/4=(t-5/2)^2-9/4

y=f(t)=t^2-5t+4は下にとつの放物線であり、t=5/2で最小値-9/4をとる。

t=5/2は(1)の変域の中に含まれる。よって

yの最小値は-9/4,このときx=5/2

お礼

回答ありがとうございます　相加相乗平均もですが、基本対称式などもしっかり理解する必要があるみたいですね。　分かりやすい回答ありがとうございます。

回答No.1

shintaro-2

どこまで考えました？

＞(1)t=2^x+2^-xとおくとき、tのとりうる範囲を求めよ

2^xと2^-x相加相乗平均で解きます。

＞(2)yをtの式で表せ

代入するだけですけど？

＞(3)yの最小値とそのときのxの値を求めよ

ｔで表して完全平方にすれば解けるはず。

お礼

回答ありがとうございます　私は(1)の時点で相加相乗平均を使うことに気付かず解けないままでした　今から回答してくださった方針でといてみようと思います