数的推理

質問

6で割っても8で割っても2余る整数は
100から200までの間に何個あるか。

この問題で「N=24k＋2」となって
題意よりkの範囲は5≦k≦8となってるんですが、なぜ5≦k≦8となってるか分かりません。
解説お願いします。

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

> 6で割っても8で割っても2余る整数は100から200までの間に何個あるか。

１．割り切れる数になるように考えてみる

　割ったら2余るということは、2だけ少なければ割り切れることになります。そこで、

「6でも8でも割り切れる整数は98から198までの間に何個あるか。」

と問題を書き換えてみます。

　6でも8でも割り切れるということは、6と8の最小公倍数で割り切れるということです。6と8の最小公倍数を探すと、24です（詳しくやるなら6、8を素因数分解して考えるが、今回は簡単なので省略します）。

　そうなると、さらに問題文を書き換えて、

「24で割り切れる整数は98から198までの間に何個あるか。」

にできます。24で割りきれる整数は、kを整数として24kと書けます。24nが「98から198までの間」にあるということを不等式で書けば、

　98≦24n≦198

となります。問題文がちょっと曖昧ですが、98（元の問題文の100）と198（元の問題文の200）は含まれると考えて、以上、以下の関係にしてあります。

　この不等式の各項を24で割れば、

　4＋2/24≦k≦8＋24/6

となります。kは整数なのですから、4＋2/24より大きく、8＋24/6より小さい整数を考えると、

　4＋2/24＜5≦k≦8＜8＋24/6

となります。ですから、5≦k≦8となるわけです。

２．2余るという条件をそのまま使う

　１では「N=24k＋2」という模範解答の内容を使いませんでした。24k＋2というのは、24倍して2を足すということですから、「24kで割って2余る」という条件を「24k＋2で割りきれる」という条件に直していることになります。なお、24という数がどうして出て来るかは、１で述べた通りです。

　24k＋2で割りきれる数が、100～200であるということを不等式で書けば、

　100≦24k＋2≦200

ということです。これをkについて解くと、

　100≦24k＋2≦200
∴98≦24k≦198　←各項から2を引いたら、１と同じ不等式になる
∴4＋2/24≦k≦8＋24/6　←各項24で割った
∴4＋2/24＜5≦k≦8＜8＋24/6　←整数であることを考慮したら、
∴5≦k≦8　←求めたい条件が出て来る

　kは整数ですから、5,6,7,8であるわけで（24倍して2を足せば、122,146,170,194）、4つあると分かります。

回答No.2

atkh404185

100≦N≦200
N=24k+2 だから、
100≦24k+2≦200
98≦24k≦198
49/12≦k≦33/4
4<49/12<5, 8く33/4<9 で、
k は整数だから、
5≦k≦8
に、なります。

回答No.1

asuncion

k=4だとN=98であるから、「100～200」という条件を満たさない。
k=9だとN=218であるから、「100～200」という条件を満たさない。