数学のデータの分析の問題です。教えてください

質問

変量xの値x1、x2、……、xnはいずれも0または1とする。0がr個、1がn-r個あるとき、x1、x2、……、xnの平均値をm(r)、分散をV(r)とおく。

(1)m(r)とV(r)を求めよ。
(2)r=0、1、……、nでのV(r)の最大値および最小値を求めよ。

答えは
(1)m(r)=n-r/n、V(r)=r(n-r)/n＾2
(2)最大値は、nが偶数のとき1/4、
nが奇数のとき1/4(1-1/n＾2)
最小値は0　　

よろしくお願いします。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

(1)
平均値 ｍ(r) は、
0がr個、1がn-r個あるから、
ｍ(r)=(x1+x2+x3+・・・・・+xn)/n
={0×r+1×(n-r)}/n
={0+(n-r)}/n
=(n-r)/n

分散 Ｖ(r) は、
Ｖ(r)=[{x1-ｍ(r)}^2+{x2-ｍ(r)}^2+{x3-ｍ(r)}^2+・・・・・・+{xn-ｍ(r)}^2]/n

ここで、
分子
={0-ｍ(r)}^2×r+{1-ｍ(r)}^2×(n-r)
=r{ｍ(r)}^2+(n-r)[1-2ｍ(r)+{ｍ(r)}^2]
=r{ｍ(r)}^2+(n-r)-2(n-r)ｍ(r)+(n-r){ｍ(r)}^2
=(n-r)-2(n-r)ｍ(r)+n{ｍ(r)}^2
=(n-r)-2(n-r)(n-r)/n+n{(n-r)/n}^2
=n-r-2(n-r)^2/n+(n-r)^2/n
=n-r-(n-r)^2/n
={n(n-r)-(n-r)^2}/n
=(n-r){n-(n-r)}/n
=(n-r)(n-n+r)/n
=r(n-r)/n

したがって、
Ｖ(r)=r(n-r)/n^2

(2)
Ｖ(r)=r(n-r)/n^2 （⇦ r の２次方程式）
=(nr-r^2)/n^2
=r/n-r^2/n^2
=-(1/n^2)(r^2-nr)
=-(1/n^2)[{r-(n/2)}^2-(n^2/4)]
=-(1/n^2){r-(n/2)}^2+1/4

Ｖ(r) は頂点(n/2, 1/4) の上に凸の放物線
ただし、r=0、1、・・・・・・、n
★（注：n が偶数のときは、頂点の r 座標 n/2 は整数になるが、
　　　n が奇数のときは、頂点の r 座標 n/2 は整数にはならない）

(i) nが偶数のとき
最大値は Ｖ(n/2)=1/4

(ii) nが奇数のとき
最大値は Ｖ((n-1)/2)=-(1/n^2)[{(n-1)/2}-(n/2)]^2+1/4
=-(1/n^2)(-1/2)^2+1/4
=-1/4n^2+1/4
=(1/4)(1-1/n^2)

Ｖ((n+1)/2))=-(1/n^2)[{(n+1)/2}-(n/2)]^2+1/4
=-(1/n^2)(1/2)^2+1/4
=-1/4n^2+1/4
=(1/4)(1-1/n^2)

また、最小値は
Ｖ(0)=0
Ｖ(n)=n(n-n)/n^2=0

したがって、
最大値は
nが偶数のとき　1/4
nが奇数のとき　(1/4)(1-1/n^2)

最小値は　0

になります。

★印
n が奇数のとき
n-1、 n+1 は偶数になり、
n/2 は整数になるから
r=n-1、n+1 のときのＶ(r)の値を求めればよいが、
放物線は軸に関して対称だから、（軸は r=n/2）
同じ値になります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.3

atkh404185

ANO.2 です。
訂正です。

r=1、2、3、……、n
だから、
r=n+1 は、ありえません。
r=n-1 だけです。

すみませんでした。

回答No.1

bran111

(1)
E(x)=Σ(i=1,n)xi/n=[r×0+(n-r)×1]/n=(n-r)/n
V(x)=Σ(i=1,n)xi^2/n-E(x)^2==[r×0^2+(n-r)×1^2]/n-[(n-r)/n]^2=(n-r)/n-[(n-r)/n]^2
=[(n-r)/n][1-(n-r)/n}=r(n-r)/n^2
(2)
dV(r)/dr=(n-2r)/n^2＝0を満たすｒは
r=n/2
V(n/2)=1/4これは最大値( y=V(r)のグラフを書けば明らか）
最小値は
r=0またはr=nのとき
V(n)=V(n)=0

お礼

本当にありがとうございました。