【急ぎ】f(x)＝x^2－x＋2 の定義域＝値域

質問

＜問題＞ ２次関数 f(x)＝x^2－x＋2 について，a≦x≦b (ただし，a＜b) における f(x) のとりうる値の範囲が a≦f(x)≦b であるという。このとき，a，b の値を求めよ。

２日前からの数学宿題で、悪戦苦闘しながらも、未だに解答に至りません。大急ぎでお願いしたいのですが、どなたかヒントだけでもいただけないものでしょうか。与えられた関数 f(x)＝x^2－x＋2 が f(x)＝x^2－２x＋2 ではないのか思ったりもします。どうかよろしくお願いします！！

回答No.1

atkh404185 · ベストアンサー

f(x) のとりうる値の範囲が a≦f(x)≦b であるという。
　　↓↓↓
f(x)の最大値が b，最小値が a

f(x)は下に凸の放物線です。

普通の解き方です。

下に凸の放物線の最大値は
定義域が a<=x<=b だから

(i) 軸<(a+b)/2
(ii) 軸<=(a+b)/2

の２つに場合分けして考えます。

下に凸の放物線の最小値は
定義域が a<=x<=b だから

(i) 軸<a
(ii) a<=軸<=b
(iii) b<軸

の３つに場合分けして考えます。

（「 = 」 はどちらかにつければよいです。）

最大・最小の両方を考えるので、
４つに場合分けをして解いていきます。

最大値で、

(i) 軸<(a+b)/2
(ii) 軸=(a+b)/2
(iii) 軸<(a+b)/2

と３つに場合分けをすれば、
５つに場合分けをして解いていくことになります。

f(x)＝x^2－x＋2=(x-1/2)^2+7/4
だから、軸は　直線 x=1/2 です。

お礼

わかりやすくきちんと整理していただき、本当にありがとうございました。しかも、質問後すぐに！（お恥ずかしい話しですが、何か勘違いしていたようです）場合分けにしたがって、それぞれ解いてみます。

回答No.2

f272

y＝f(x)=x^2－x＋2とy=xのグラフには交点はありません。したがってa≦x≦b (ただし，a＜b) における f(x) のとりうる値の範囲が a≦f(x)≦b になることはありません。
f(x)＝x^2－２x＋2の場合だと...
y＝f(x)=x^2－2x＋2とy=xのグラフには交点は(1,1)と(2,2)であり，x^2－2x＋2はxが1以上のときは単調に増加します。したがってa=1，b=2です。

お礼

やはり解がない問題ですね。y=xを使うのは、なるほどうまい方法ですね。全く気がつきませんでした。係数の脱落か、＋ーのミスかもしれません。出題者に文句が言えます。どうもありがとうございました！お礼の言いようがありません。